El cuadrado de una raíz k-ésima de la unidad es una raíz k/2-ésima de la unidad

Last updated on Nov 12, 2025

Si tomamos el conjunto de las raíces $k$ -ésimas de la unidad (con un $k$ par) y elevamos al cuadrado cada elemento, el conjunto resultante será de la mitad del tamaño. El nuevo conjunto será el de las raíces $\frac{k}{2}$ -ésimas de la unidad.

Por ejemplo, supongamos que $k = 6$ . Las raíces 6-ésimas de la unidad serían

\set{1,\omega,\omega^2,\omega^3,\omega^4,\omega^5}

Si elevamos al cuadrado cada elemento, obtenemos el siguiente conjunto. Algunos elementos tienen exponentes mayores o iguales a $k$ , pero nos ocuparemos de eso en el siguiente paso.

\set{1^2,\omega^2,\omega^4,\omega^6,\omega^8,\omega^{10}}

Luego podemos factorizar los exponentes de la siguiente manera:

\set{1^2,\omega^2,\omega^4,\omega^6,(\omega^6)\omega^2,(\omega^{6})\omega^4}

Dado que $\omega$ es una raíz 6-ésima de la unidad, $\omega^6\equiv1$ , por lo que tenemos:

\set{1^2,\omega^2,\omega^4,1,(1)\omega^2,(1)(\omega^4)}

Eliminando la multiplicación por $1$ , obtenemos

\set{1^2,\omega^2,\omega^4,1,\omega^2,\omega^4}

Ahora reemplazamos todos los términos duplicados por un solo elemento:

\set{1,\omega^2,\omega^4}

El nuevo conjunto tiene la mitad del tamaño del original, y cada elemento es una raíz 3-ésima de la unidad:

$1^3\equiv1$
$(\omega^2)^3=\omega^6\equiv1$
$(\omega^4)^3=\omega^{12}=\omega^6\omega^6\equiv1\cdot1=1$

Si graficamos las raíces 6-ésimas de la unidad en un círculo, podemos ver que elevar al cuadrado “elimina” uno de cada dos elementos. Comenzamos con $\set{1,\omega,\omega^2,\omega^3,\omega^4,\omega^5}$ y terminamos con $\set{1,\omega^2,\omega^4}$

Para reiterar, si tomamos el conjunto de las raíces $k$ -ésimas de la unidad, y $k$ es par, y luego elevamos al cuadrado cada elemento, obtenemos un conjunto de la mitad del tamaño donde cada elemento es una raíz $\frac{k}{2}$ -ésima de la unidad.

Algunos ejemplos más:

Si $k = 10$ y elevamos al cuadrado cada una de las raíces 10-ésimas de la unidad, obtenemos un conjunto de tamaño cinco que son las raíces quintas de la unidad.
Si $k = 8$ y elevamos al cuadrado cada una de las raíces 8-ésimas de la unidad, obtenemos un conjunto de tamaño cuatro que son las raíces cuartas de la unidad.
Si $k = 4$ y elevamos al cuadrado cada una de las raíces cuartas de la unidad, obtenemos un conjunto de tamaño dos que son las raíces segundas de la unidad.
Si $k = 2$ y elevamos al cuadrado cada una de las raíces segundas de la unidad, obtenemos un conjunto de tamaño 1 que es simplemente el elemento 1.

El último punto se ilustra fácilmente. Las raíces segundas de la unidad son raíces cuadradas de 1, que siempre son $\set{1,-1}\equiv\set{1,\omega^{k/2}}$ . Elevar al cuadrado 1 da como resultado 1 y elevar al cuadrado -1 da como resultado 1. De manera equivalente, $(\omega^{k/2})^2=\omega^k\equiv1$ .

Ejemplo de elevar al cuadrado las raíces 8-ésimas de la unidad

Consideremos el subgrupo de las raíces 8-ésimas de la unidad $\langle 9\rangle = \{1, 9, 13, 15, 16, 8, 4, 2\}$ en el campo finito $\mathbb{F}_{17}$ . Elevamos al cuadrado todos los elementos de este subgrupo de la siguiente manera:

\begin{aligned} &1^2 = 1\pmod{17},\\ &9^2 \equiv 13\pmod{17},\\ &13^2 \equiv 16\pmod{17} ,\\ &15^2 \equiv 4\pmod{17},\\ &16^2 \equiv 1\pmod{17},\\ &8^2 \equiv 13\pmod{17},\\ &4^2 \equiv 16\pmod{17},\\ &2^2 = 4\pmod{17}. \end{aligned}

El conjunto obtenido después de elevar al cuadrado es $\{1,13,16,4\}$ , que es precisamente el subgrupo de las raíces cuartas de la unidad.

Aquí hay una visualización de las raíces de la unidad antes y después de elevarlas al cuadrado. Comenzamos con el conjunto $\set{1, 9, 13, 15, 16, 8, 4, 2}$ y terminamos con el conjunto $\set{1,13,16,4}$

k debe ser par

Si $k$ es impar, entonces no existe tal cosa como “la mitad del grupo”, ya que un conjunto de tamaño impar no se puede dividir en dos. Para los propósitos de NTT, solo trabajamos con $k$ de tamaño par, por lo que no estamos interesados en el caso donde $k$ es impar.

Demostración de la afirmación de que el nuevo conjunto tiene la mitad del tamaño

Sea $\omega$ una raíz primitiva $k$ -ésima de la unidad con $k$ par. Sea $\langle\omega\rangle$ el subgrupo generado por $\omega$ de orden $k$ . Afirmamos que $|\set{\omega^2|\omega\in\langle\omega\rangle}|=k/2$ .

La demostración es en realidad bastante simple e intuitiva.

Establecimos en un capítulo anterior que $\omega^{i}$ y $\omega^{i+k/2}$ son inversos aditivos. Dado que $k$ es par, podemos particionar el grupo en dos conjuntos, el primero siendo $0...(k/2-1)$ y el segundo siendo $k/2...k-1$ :

\set{\omega^0,\omega^1,\omega^2,...}\quad\set{\omega^{k/2},\omega^{k/2+1},\omega^{k/2+2},...}

Esos elementos son congruentes con la siguiente representación:

\set{\omega^0,\omega^1,\omega^2,...}\quad\set{-\omega^0,-\omega^1,-\omega^2,...}

Si aplicamos $f(x)=x^2$ a ambos conjuntos, obtenemos dos conjuntos con idéntico contenido y de tamaño $k/2$

\set{1,\omega^2,\omega^4,...}\quad\set{1,\omega^2,\omega^4,...}

Dado que los dos conjuntos son idénticos, la unión de los dos conjuntos tendrá el mismo tamaño, que es $k/2$ .

Demostración de que elevar al cuadrado una raíz $k$ -ésima de la unidad produce una raíz $k/2$ -ésima de la unidad

Supongamos que $a$ es una raíz $k$ -ésima de la unidad. Nuestro objetivo es demostrar que $a^2$ es una raíz $\frac{k}{2}$ -ésima de la unidad, es decir:

(a^2)^{\frac{k}{2}}\equiv 1

Simplifiquemos $(a^2)^{\frac{k}{2}}$ :

(a^2)^{\frac{k}{2}} = a^{k}

Dado que $a^k\equiv1$ (porque $a$ es una raíz $k$ -ésima de la unidad), se deduce que $(a^2)^{\frac{k}{2}}\equiv 1$ .

Por lo tanto, $a^2$ es, de hecho, una raíz $\frac{k}{2}$ -ésima de la unidad.