La propiedad de que si $\omega$ es una raíz $k$-ésima de la unidad, entonces $\omega^i$ y $\omega^{i+k/2}$ son inversos aditivos puede parecer un poco abstracta — este capítulo introduce un elemento visual que hace que este concepto sea más fácil de recordar.

Recuerde que las raíces $k$-ésimas de la unidad se generan tomando la raíz $k$-ésima primitiva de la unidad $\omega$ y elevándola a potencias sucesivas. Por ejemplo, si $k=4$, calculamos las raíces 4-ésimas de la unidad como

• $\omega^0=1$
• $\omega^1=\omega$
• $\omega^2=\omega^2$
• $\omega^3=\omega^3$

Si continuáramos, los exponentes darían la vuelta módulo 4:

• $\omega^4=1$ (por definición de ser una raíz 4-ésima de la unidad)
• $\omega^5=\omega^4\omega=1\cdot\omega =\omega$
• $\omega^6=\omega^4\omega^2=1\cdot\omega^2=\omega^2$
• $\omega^7=\omega^4\omega^3=1\cdot\omega^3=\omega^3$
• $\omega^8=\omega^4\omega^4=1$
• $\omega^9=\omega^4\omega^4\omega=\omega$

y así sucesivamente.

Note que el exponente “da la vuelta” en cada múltiplo de cuatro. Por lo tanto, para cualquier $\omega^i$ y $\omega^j$, $\omega^i\omega^j=\omega^{i+j\pmod k}$. Dado que $k=4$ en nuestro ejemplo, tenemos que $\omega^i\omega^j=\omega^{i+j\pmod 4}$

Ahora recuerde que la suma módulo $k$ puede representarse como un “reloj”. Aquí, nuestro reloj consiste en los “marcadores de hora” 0, 1, 2, 3, que son los exponentes de $\omega$

Una forma de pensar en esto es

“sumar dos números $i$ y $j$ en el reloj es equivalente a multiplicar las raíces de la unidad que tienen los exponentes $i$ y $j$, es decir, $\omega^i$ y $\omega^j$.”

Si tomamos cualquier raíz de la unidad y le sumamos 1 al exponente, esto es equivalente a multiplicar esa raíz de la unidad por $\omega^1$ (o simplemente $\omega$). Por ejemplo, multiplicar $\omega^2$ por $\omega$ es lo mismo que sumarle uno al exponente para obtener $\omega^3$.

Por lo tanto, multiplicar una raíz $k$-ésima de la unidad por $\omega$ o sumar 1 al exponente es lo mismo que dar un paso de $1/k$ alrededor del círculo.

Por ejemplo, si multiplicamos $\omega^2$ por $\omega,$ obtenemos $\omega^3$, lo que equivale a avanzar un paso de 1/4:

Podemos pensar en generar las raíces de la unidad comenzando con $\omega^0$ y sumando repetidamente 1 al exponente para producir $\omega^1, \omega^2, \omega^3$, y así sucesivamente hasta alcanzar $\omega^{k}$, punto en el cual los resultados darán la vuelta módulo $k$. Esto es exactamente lo mismo que dar $k$ pasos alrededor del círculo.

Visualizando congruencias con el círculo unitario

Vamos a expandir este círculo para incluir más congruencias.

Si multiplicamos $\omega^3$ y $\omega^2$, obtendremos $\omega^5$, que es congruente con $\omega$, exactamente como sugiere el gráfico:

Otra forma de pensar en esto es comenzar en $\omega^2$ y dar 3 pasos hacia adelante:

Puntos separados por k/2 pasos

Dado que toma $k$ pasos “dar la vuelta” al círculo, dar $k/2$ pasos te lleva desde un punto hasta el punto opuesto.

Ahora observe en el círculo de $k=4$ que los puntos opuestos son inversos aditivos entre sí (su suma es cero). Recuerde que $-1\equiv\omega^{k/2}$. Dado que k = 4, $\omega^2 =-1.$

En el ejemplo de $k=4$, tenemos que

• $\omega^0+\omega^2\equiv1+(-1)=0$
• $\omega^1+\omega^3\equiv\omega+(-\omega)=0$

Note que ahora estamos sumando las raíces de la unidad, no multiplicándolas, ¡por lo que la regla de la suma de exponentes no se aplica! ¡No confunda $\omega^0+\omega^2$ con $\omega^0\cdot\omega^2$! Las raíces de la unidad son elementos de un campo finito, y los campos tienen 2 operaciones: suma y multiplicación.

Ejemplos con otros valores de k

Si el círculo está particionado en $k$ segmentos, entonces dar $k/2$ pasos te lleva al lado opuesto. En cada uno de los casos que se muestran aquí, vemos que los puntos opuestos son inversos aditivos.

k = 8

k = 6

k = 16

Resumen

Para recordar que $\omega^i+\omega^{i+k/2}$ son inversos aditivos (su suma es cero), dibujamos un círculo con $k$ puntos donde cada paso es una multiplicación por $\omega.$ Los puntos opuestos serán inversos aditivos.

El diagrama del círculo también será muy útil para visualizar subgrupos de las raíces de la unidad, así como raíces cuadradas — mostraremos esas visualizaciones en los próximos capítulos.