यह लेख अल्जेब्रिक ग्रुप्स (algebraic groups) के कई उदाहरण प्रदान करता है ताकि आप उनके बारे में एक समझ (intuition) विकसित कर सकें।

एक ग्रुप एक ऐसा सेट (set) होता है जिसमें:

• एक क्लोज्ड बाइनरी ऑपरेटर (closed binary operator) होता है
• यह बाइनरी ऑपरेटर एसोसिएटिव (associative) भी होता है
• एक आइडेंटिटी एलिमेंट (identity element) होता है
• प्रत्येक एलिमेंट का एक इन्वर्स (inverse) होता है

हमने एबेलियन ग्रुप्स (abelian groups) पर भी चर्चा की थी। एक एबेलियन ग्रुप की यह अतिरिक्त आवश्यकता होती है कि बाइनरी ऑपरेटर कम्यूटेटिव (commutative) होना चाहिए।

अब ग्रुप्स को एक गणितीय संरचना (mathematical structure) के रूप में चर्चा करने का समय आ गया है।

एडिशन के अंतर्गत इंटिजर्स (integers) का उपयोग ग्रुप के उदाहरण के रूप में करने का एक भ्रामक पहलू यह है कि छात्र अक्सर प्रतिक्रिया देते हैं, “लेकिन क्या आप इंटिजर्स को मल्टीप्लाई (multiply) नहीं कर सकते?”

सच कहूं तो, यह भ्रमित करने वाला हो सकता है। अन्य अल्जेब्रिक संरचनाएं भी हैं, जैसे कि रिंग्स (rings) और फील्ड्स (fields), जिनमें दो बाइनरी ऑपरेटर शामिल होते हैं। हालांकि, अभी के लिए, यह सोचें कि एक ग्रुप में एक निश्चित और अपरिवर्तनीय बाइनरी ऑपरेटर होता है, और ग्रुप के दृष्टिकोण से, कोई भी अन्य संभावित बाइनरी ऑपरेटर या तो मौजूद नहीं है या उसका कोई मतलब नहीं है।

यहाँ यह और भी अधिक भ्रामक हो जाता है। कभी-कभी बाइनरी ऑपरेटर्स वास्तव में भेष बदले हुए अन्य बाइनरी ऑपरेटर्स होते हैं।

उदाहरण के लिए, जब केवल एडिशन वाले ग्रुप्स से निपटा जाता है, तो कभी-कभी लेखक अनजाने में मल्टिप्लिकेशन का उल्लेख कर देते हैं, भले ही उस ग्रुप में वह बाइनरी ऑपरेटर न हो। इस संदर्भ में मल्टिप्लिकेशन वास्तव में एक निश्चित संख्या में एडिशन ऑपरेशन को दोहराने का शॉर्टहैंड (shorthand) है।

ग्रुप्स के उदाहरण

किसी ग्रुप को समझने का सबसे अच्छा तरीका यह है कि इसके बहुत सारे उदाहरण देखे जाएं। आइए ऐसा ही करते हैं।

1. द ट्रिवियल ग्रुप (The trivial group)

मान लीजिए कि हमारा ग्रुप एक सेट है जिसमें संख्या $\set{0}$ और बाइनरी ऑपरेटर एडिशन शामिल है। यह स्पष्ट है कि बाइनरी ऑपरेटर क्लोज्ड और एसोसिएटिव है

और प्रत्येक एलिमेंट का एक आइडेंटिटी और इन्वर्स होता है।

यह कोई दिलचस्प ग्रुप नहीं है, लेकिन यह आपके द्वारा बनाया जा सकने वाला सबसे छोटा मान्य ग्रुप है।

ध्यान दें कि कोई ग्रुप खाली (empty) नहीं हो सकता क्योंकि परिभाषा के अनुसार इसमें एक आइडेंटिटी एलिमेंट होना अनिवार्य है।

पाठकों के लिए एक अभ्यास के रूप में, यह दिखाएं कि सेट $\set{1}$ बाइनरी ऑपरेटर $\times$ के साथ एक ग्रुप है।

2. मल्टिप्लिकेशन के अंतर्गत वास्तविक संख्याएं (Real numbers) एक ग्रुप नहीं हैं

यद्यपि मल्टिप्लिकेशन के अंतर्गत वास्तविक संख्याओं ($\mathbb{R}$) में एक आइडेंटिटी (संख्या $1$) होती है और यह क्लोज्ड और एसोसिएटिव है, लेकिन उन सभी का इन्वर्स नहीं होता है।

वास्तविक संख्याएं उनके मल्टीप्लिकेटिव इन्वर्स $(1 / n)$ को लेकर इनवर्टिबल (invertible) होती हैं, लेकिन शून्य, भले ही वह एक वास्तविक संख्या है, उसे इनवर्ट नहीं किया जा सकता क्योंकि $1/0$ अपरिभाषित (undefined) है और एक वास्तविक संख्या नहीं है।

स्पष्ट रूप से कहें तो, $a$ का इन्वर्स $b$ है, जैसे कि $ab = 1$। यहाँ हम कह रहे हैं कि यदि $a = 0$ है तो सेट में कोई ऐसा एलिमेंट $b$ नहीं है जिससे कि $ab = 1$ हो।

हालांकि शून्य को छोड़कर धनात्मक वास्तविक संख्याएं मल्टिप्लिकेशन के अंतर्गत एक ग्रुप हैं। प्रत्येक एलिमेंट का एक इन्वर्स ($1/n$) होता है, और आइडेंटिटी एलिमेंट 1 है।

अभ्यास (Exercise): मल्टिप्लिकेशन के अंतर्गत इंटिजर्स (धनात्मक और ऋणात्मक) एक ग्रुप नहीं हैं। दिखाएं कि चार आवश्यकताओं (क्लोज्ड, एसोसिएटिव, आइडेंटिटी की मौजूदगी, सभी एलिमेंट्स का इन्वर्स होना) में से कौन सी पूरी नहीं होती है।

3. एडिशन के अंतर्गत वास्तविक संख्याओं के $n \times m$ मैट्रिसेस (matrices) एक ग्रुप हैं

आइए इसे समझते हैं:

मैट्रिक्स एडिशन क्लोज्ड और एसोसिएटिव होता है। यदि आप वास्तविक संख्याओं के एक $n \times m$ मैट्रिक्स को वास्तविक संख्याओं के दूसरे $n \times m$ मैट्रिक्स के साथ जोड़ते हैं, तो आपको वास्तविक संख्याओं का ही एक $n \times m$ मैट्रिक्स मिलता है।
आइडेंटिटी मैट्रिक्स सभी शून्यों का एक $n \times m$ मैट्रिक्स होता है
किसी मैट्रिक्स का इन्वर्स वह मैट्रिक्स होता है जिसे -1 से गुणा किया जाता है।
अरे रुकिए, हमें -1 से गुणा करने की अनुमति नहीं है, सही?

किसी ग्रुप को यह आवश्यक नहीं है कि इन्वर्स “ग्रुप बाइनरी ऑपरेटर का उपयोग करके गणना योग्य (computable) हो”, इसका केवल मौजूद होना आवश्यक है। यानी, हम इन्वर्स की गणना प्रत्येक एलिमेंट को $-1$ से गुणा करके करते हैं, भले ही $-1$ से गुणा करना एक ग्रुप ऑपरेशन नहीं है।

यदि हम $n \times m$ मैट्रिसेस के लिए अपने ऑपरेटर को Hadamard product (एलिमेंट-वाइज मल्टिप्लिकेशन) के रूप में परिभाषित करते हैं, तो ऊपर बताए गए समान कारण से यह एक ग्रुप नहीं हो सकता। विशेष रूप से, इन्वर्स की गणना मैट्रिक्स में प्रत्येक एलिमेंट के व्युत्क्रम (reciprocal) के रूप में की जाती है, और यदि एलिमेंट्स में से एक भी शून्य है, तो इन्वर्स की गणना नहीं की जा सकती है।

यदि हम अपने ऑपरेटर को स्क्वायर मैट्रिसेस (square matrices) पर पारंपरिक मैट्रिक्स मल्टिप्लिकेशन के रूप में परिभाषित करते हैं, तो सेट की परिभाषा के आधार पर यह एक ग्रुप हो भी सकता है और नहीं भी, जैसा कि हम सेक्शन उदाहरण 5 में देखेंगे।

4. एलिमेंट-वाइज एडिशन के अंतर्गत एक यूक्लिडियन प्लेन (euclidean plane) पर 2D पॉइंट्स का सेट एक ग्रुप है

यह वास्तव में पिछले उदाहरण का एक विशेष मामला है, लेकिन आइए इसे एक अलग नजरिए से देखते हैं।

एक मानक 2D प्लेन पर सभी वास्तविक-मूल्य (real-valued) वाले $(x, y)$ पॉइंट्स के सेट पर विचार करें।

हमारा बाइनरी ऑपरेटर पॉइंट्स को एक साथ जोड़ रहा है, उदाहरण के लिए $(1,1) + (2,2) = (3,3)$।

हमारा आइडेंटिटी एलिमेंट मूल बिंदु (origin) है, क्योंकि इसके साथ जोड़ने पर दूसरे पॉइंट की लोकेशन समान ही रहेगी।

किसी पॉइंट का इन्वर्स मूल बिंदु (origin) पर केवल उसकी “मिरर इमेज” ($x$ और $y$ निर्देशांकों को नेगेटिव कर के) है, क्योंकि जब आप किसी पॉइंट को उसके इन्वर्स में जोड़ते हैं, तो उनका परिणाम मूल बिंदु होता है।

5. मल्टिप्लिकेशन के अंतर्गत नॉन-जीरो डिटर्मिनेंट (non-zero determinant) वाले $n \times n$ मैट्रिसेस एक ग्रुप हैं

पुनरावलोकन के तौर पर, यदि किसी मैट्रिक्स का डिटर्मिनेंट नॉन-जीरो है, तो वह इनवर्टिबल होता है। जब किसी नॉन-जीरो डिटर्मिनेंट वाले मैट्रिक्स को किसी दूसरे नॉन-जीरो डिटर्मिनेंट वाले मैट्रिक्स से गुणा किया जाता है, तो प्रोडक्ट का भी नॉन-जीरो डिटर्मिनेंट होता है। वास्तव में, हम इसे और अधिक स्पष्ट कर सकते हैं, यदि $A$, $B$, और $C$ स्क्वायर मैट्रिसेस हैं, और $AB = C$ है, तो $\det(A) \times \det(B) = \det(C)$।

आइए परिभाषाओं के माध्यम से समझते हैं:

• नॉन-जीरो डिटर्मिनेंट मैट्रिसेस का मल्टिप्लिकेशन क्लोज्ड है क्योंकि आप “ग्रुप से बाहर नहीं जा सकते” क्योंकि प्रोडक्ट में हमेशा नॉन-जीरो डिटर्मिनेंट होगा। मैट्रिक्स मल्टिप्लिकेशन एसोसिएटिव होता है।
• आइडेंटिटी एलिमेंट आइडेंटिटी मैट्रिक्स (मुख्य विकर्ण (main diagonal) पर एक को छोड़कर बाकी सभी शून्य) है।
• इन्वर्स बस मैट्रिक्स इन्वर्स है, और नॉन-जीरो डिटर्मिनेंट वाले मैट्रिसेस इनवर्टिबल होते हैं।

6. मल्टिप्लिकेशन के अंतर्गत जीरो डिटर्मिनेंट वाले $n \times n$ मैट्रिसेस एक ग्रुप नहीं हैं

याद रखें, जीरो डिटर्मिनेंट वाले मैट्रिक्स को इनवर्ट नहीं किया जा सकता है, इसलिए इस सेट का कोई इन्वर्स नहीं हो सकता। इस मामले में, हमारे पास आइडेंटिटी एलिमेंट नहीं है क्योंकि आइडेंटिटी मैट्रिक्स का डिटर्मिनेंट एक होता है। चूँकि हमारे पास कोई आइडेंटिटी एलिमेंट नहीं है, इसलिए यह सेट और बाइनरी ऑपरेटर एक मोनोइड (monoid) भी नहीं है, यह एक सेमीग्रुप (semigroup) है।

7. एडिशन के अंतर्गत एक फिक्स्ड अपर-बाउंडेड डिग्री (fixed upper-bounded degree) के सभी पॉलीनोमियल्स (polynomials) का सेट एक ग्रुप है

यदि हम कहें “एडिशन के अंतर्गत अधिकतम 7 डिग्री वाले वास्तविक कोएफिशिएंट्स (real coefficients) के सभी पॉलीनोमियल्स”, तो यह एक मान्य ग्रुप है।

• पॉलीनोमियल एडिशन क्लोज्ड और एसोसिएटिव होता है
• आइडेंटिटी पॉलीनोमियल $0$ है (या सटीक रूप से कहें तो $0x^0$)
• इन्वर्स $-1$ से गुणा किए गए कोएफिशिएंट्स होते हैं
• हम यह नहीं कह सकते कि डिग्री “बिल्कुल $7$” है, क्योंकि आइडेंटिटी एलिमेंट की डिग्री 0 है, और वह ग्रुप का हिस्सा नहीं होगा।

मल्टिप्लिकेशन के अंतर्गत एक फिक्स्ड अपर-बाउंडेड डिग्री के पॉलीनोमियल्स एक ग्रुप नहीं हैं, क्योंकि आमतौर पर जब आप पॉलीनोमियल्स को गुणा करते हैं तो डिग्री बड़ी हो जाती है, इसलिए ऑपरेटर क्लोज्ड नहीं होगा।

8. प्राइम नंबर (prime number) का एडिशन मॉड्यूलो (Addition modulo) एक ग्रुप है

आइए एक प्राइम नंबर $7$ लेते हैं।

यहाँ, आइडेंटिटी अभी भी $0$ है, क्योंकि आप $0$ जोड़ते हैं और वही संख्या वापस प्राप्त करते हैं।

इस स्थिति में, $5$ का इन्वर्स क्या होगा?

यह बस $2$ होगा, क्योंकि $7 - 5 = 2$, या $5 + 2 \mod 7$ शून्य (आइडेंटिटी) होता है।

9. प्राइम नंबर का मल्टिप्लिकेशन मॉड्यूलो (Multiplication modulo) एक ग्रुप नहीं है

इस उदाहरण के लिए शून्य का कोई इन्वर्स नहीं है।

यदि हम संख्या $0$ को छोड़ दें, तो हमारे पास एक ग्रुप है। आइडेंटिटी एलिमेंट 1 है, और किसी एलिमेंट $a$ का इन्वर्स उसका मॉड्यूलर इन्वर्स $a^{-1}$ है।

10. मल्टिप्लिकेशन के अंतर्गत इंटिजर पावर्स (integer powers) तक उठाया गया एक फिक्स्ड बेस (fixed base) एक ग्रुप है

यदि $b$ की दो इंटिजर पावर्स को एक साथ गुणा किया जाता है, तो परिणाम बेसेस (bases) के प्रोडक्ट की इंटिजर पावर होता है। उदाहरण के लिए, $2^3 \times 2^4 = 2^{3 + 4} = 2^7$। यह मनमाने (arbitrary) बेसेस के लिए काम करता है:

आइडेंटिटी एलिमेंट $b^0$ है, जो $1$ है, और $b^x$ का इन्वर्स $b^{-x}$ है।

फाइनाइट ग्रुप्स (Finite groups)

जैसा कि नाम से पता चलता है, एक फाइनाइट ग्रुप में एलिमेंट्स की संख्या सीमित (finite) होती है। एडिशन के अंतर्गत सभी इंटिजर्स का सेट फाइनाइट नहीं है, लेकिन एक प्राइम नंबर के मॉड्यूलो इंटिजर्स का एडिशन एक फाइनाइट ग्रुप है।

जीरो नॉलेज प्रूफ्स (zero knowledge proofs) में, हम केवल फाइनाइट ग्रुप्स का उपयोग करते हैं।

ग्रुप का आर्डर (Order of a group)

किसी ग्रुप का आर्डर उसमें मौजूद एलिमेंट्स की संख्या होती है।

साइक्लिक ग्रुप्स (Cyclic groups)

एक साइक्लिक ग्रुप वह ग्रुप होता है जिसमें एक ऐसा एलिमेंट होता है जिससे ग्रुप के हर एलिमेंट को उस एलिमेंट, या उसके इन्वर्स पर बार-बार बाइनरी ऑपरेटर लागू करके “जेनरेट” (generate) किया जा सकता है।

साइक्लिक ग्रुप्स के उदाहरण

उदाहरण 1: एडिशन के अंतर्गत 0 से मिलकर बना ग्रुप एक साइक्लिक ग्रुप है

यह सामान्य रूप से सत्य है क्योंकि $0 + 0 = 0$ ग्रुप के हर एलिमेंट को जेनरेट करता है।

उदाहरण 2: एडिशन मॉड्यूलो 7 एक साइक्लिक ग्रुप है

यदि हम $1$ से शुरू करते हैं और बार-बार खुद में $1$ जोड़ते हैं, तो हम ग्रुप के हर एलिमेंट को जेनरेट कर लेंगे। उदाहरण के लिए:

उदाहरण 3: मल्टिप्लिकेशन मॉड्यूलो $7$ एक साइक्लिक ग्रुप है, यदि हम शून्य को बाहर कर दें

यहाँ जेनरेटर (generator) चुनते समय हमें सावधान रहना होगा, क्योंकि, उदाहरण के लिए, $2$ पूरे ग्रुप को जेनरेट नहीं करेगा।

हम देख सकते हैं कि $2$ केवल $\set{1,2,4}$ ही जेनरेट कर सकता है। हालांकि, यदि हम $3$ को जेनरेटर के रूप में चुनते हैं, तो हम पूरे ग्रुप को जेनरेट कर सकते हैं।

$3$ काम करता है और $2$ काम नहीं करता है, इसका कारण यह है कि $3$ एक प्रिमिटिव रूट (primitive root) है।

हम प्रिमिटिव रूट्स खोजने के लिए galois लाइब्रेरी का उपयोग कर सकते हैं:

Copy
from galois import GF
GF7 = GF(7)
print(GF7.primitive_elements)
# [3, 5]

उपरोक्त कोड आउटपुट से, हम देख सकते हैं कि $5$ भी सभी नॉन-जीरो एलिमेंट्स को जेनरेट करेगा।

यदि कोई ग्रुप साइक्लिक है, तो वह एबेलियन होता है

यह थोड़ा अधिक सूक्ष्म (subtle) है, लेकिन इस पर विचार करें:

एक साइक्लिक ग्रुप में, ग्रुप के हर एलिमेंट को $(g + g + … + g)$ के रूप में जेनरेट किया जा सकता है। आइए मनमाने ढंग से एक एलिमेंट $r$ चुनें। आइए एडिशन के इस सेट को इस प्रकार विभाजित (partition) करें

एसोसिएटिविटी के कारण, हम कोष्ठक (parenthesis) जोड़ सकते हैं

मान लें कि $g$ को खुद में $m$ बार जोड़ने पर $p$ मिलता है और $g$ को खुद में $n$ बार जोड़ने पर $q$ मिलता है। इसलिए,

एसोसिएटिविटी के द्वारा, हम मूल समीकरण को फिर से इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं (ध्यान दें कि $m$ और $n$ ने जगह बदल ली है!)

और हम वापस पाते हैं:

अतः, यदि ग्रुप साइक्लिक है, तो ग्रुप एबेलियन है।

ध्यान दें कि इस कथन का उल्टा (converse) सत्य नहीं है। एडिशन के अंतर्गत वास्तविक संख्याएं एक एबेलियन ग्रुप हैं, लेकिन वे साइक्लिक नहीं हैं।

यह आवश्यक नहीं है कि साइक्लिक ग्रुप्स किसी प्राइम नंबर के मॉड्यूलो अर्थमेटिक (arithmetic) ही हों, लेकिन जीरो नॉलेज प्रूफ्स की हमारी चर्चा में हम केवल इन्हीं साइक्लिक ग्रुप्स का उपयोग करेंगे।

किसी ग्रुप का आइडेंटिटी एलिमेंट यूनिक (unique) होता है

किसी ग्रुप में दो आइडेंटिटी एलिमेंट्स नहीं हो सकते। इस पर ज्यादा न सोचें, यह साधारण विरोधाभास (contradiction) द्वारा प्राप्त किया गया है। मान लें कि $\square$ हमारा बाइनरी ऑपरेटर है और $e$ हमारा आइडेंटिटी एलिमेंट है।

मान लें कि हमारे पास एक वैकल्पिक आइडेंटिटी एलिमेंट $e'$ है। इसका अर्थ निम्नलिखित है:

यदि हम कहें कि $e \neq e'$, तो यह भी सत्य होना चाहिए कि

लेकिन यह स्पष्ट रूप से एक विरोधाभास है, अतः आइडेंटिटी एलिमेंट्स का यूनिक होना अनिवार्य है।

जीरो नॉलेज प्रूफ्स में ग्रुप्स का उपयोग

जीरो नॉलेज प्रूफ्स के उद्देश्य से ग्रुप थ्योरी को समझना शब्दावली (vocabulary) के एक अभ्यास से अधिक है। जब हम “इन्वर्स” या “आइडेंटिटी” कहते हैं तो हम चाहते हैं कि आप तुरंत समझ जाएं कि उनका क्या मतलब है।

इसके अतिरिक्त, ग्रुप्स हमें बहुत जटिल गणितीय वस्तुओं के काम करने के तरीके को समझे बिना उन पर तर्क (reason) करने में मदद करते हैं। हमने इस लेख में परिचित उदाहरणों का उपयोग किया है, लेकिन बाद में हम elliptic curves over field extensions जैसी बहुत अपरिचित वस्तुओं से निपटेंगे। भले ही आप नहीं जानते कि वह वास्तव में क्या है, अगर हम आपको बताते हैं कि यह एक ग्रुप है, तो आप पहले से ही इसके बारे में बहुत कुछ जान जाते हैं।

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यह लेख ZK प्रूफ्स (ZK proofs) पर एक श्रृंखला का हिस्सा है। पूरी श्रृंखला के लिए हमारी ZK Book देखें।

मूल रूप से 1 अगस्त, 2023 को प्रकाशित