यह गुण कि यदि $\omega$, इकाई का $k$-th मूल (root of unity) है, तो $\omega^i$ और $\omega^{i+k/2}$ योज्य प्रतिलोम (additive inverses) हैं, थोड़ा अमूर्त (abstract) लग सकता है — यह अध्याय एक ऐसा विज़ुअल प्रस्तुत करता है जो इस अवधारणा को याद रखना आसान बनाता है।

याद करें कि इकाई के $k$-th मूल (roots of unity), प्रारंभिक (primitive) $k$-th मूल $\omega$ को लेकर और उस पर क्रमिक घात (successive powers) लगाकर उत्पन्न किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि $k=4$ है, तो हम 4-th रूट्स ऑफ यूनिटी की गणना इस प्रकार करते हैं:

• $\omega^0=1$
• $\omega^1=\omega$
• $\omega^2=\omega^2$
• $\omega^3=\omega^3$

यदि हम आगे बढ़ते रहें, तो घातांक (exponents) मॉड्यूलो (modulo) 4 के चारों ओर रैप (wrap around) हो जाएंगे:

• $\omega^4=1$ (4-th रूट ऑफ यूनिटी होने की परिभाषा के अनुसार)
• $\omega^5=\omega^4\omega=1\cdot\omega =\omega$
• $\omega^6=\omega^4\omega^2=1\cdot\omega^2=\omega^2$
• $\omega^7=\omega^4\omega^3=1\cdot\omega^3=\omega^3$
• $\omega^8=\omega^4\omega^4=1$
• $\omega^9=\omega^4\omega^4\omega=\omega$

और इसी तरह।

ध्यान दें कि घातांक चार के प्रत्येक गुणज (multiple) पर “रैप अराउंड” होता है। इस प्रकार, किसी भी $\omega^i$ और $\omega^j$ के लिए, $\omega^i\omega^j=\omega^{i+j\pmod k}$। चूंकि हमारे उदाहरण में $k=4$ है, इसलिए हमारे पास $\omega^i\omega^j=\omega^{i+j\pmod 4}$ है।

अब याद करें कि एडिशन मॉड्यूलो (addition modulo) $k$ को एक “घड़ी” के रूप में दर्शाया जा सकता है। यहाँ, हमारी घड़ी में 0, 1, 2, 3 “घंटे के मार्कर” हैं, जो $\omega$ के घातांक हैं।

इसके बारे में सोचने का एक तरीका यह है:

“घड़ी पर दो संख्याओं $i$ और $j$ को जोड़ना, उन रूट्स ऑफ यूनिटी को गुणा करने के समतुल्य है जिनके घातांक $i$ और $j$ हैं, अर्थात $\omega^i$ और $\omega^j$।”

यदि हम कोई रूट ऑफ यूनिटी लेते हैं और घातांक में 1 जोड़ते हैं, तो यह उस रूट ऑफ यूनिटी को $\omega^1$ (या केवल $\omega$) से गुणा करने के समतुल्य है। उदाहरण के लिए, $\omega^2$ को $\omega$ से गुणा करना, घातांक में एक जोड़कर $\omega^3$ प्राप्त करने के समान है।

इसलिए, $k$-th रूट ऑफ यूनिटी को $\omega$ से गुणा करना या घातांक में 1 जोड़ना, वृत्त के चारों ओर $1/k$-th कदम आगे बढ़ने के समान है।

उदाहरण के लिए, यदि हम $\omega^2$ को $\omega$ से गुणा करते हैं, तो हमें $\omega^3$ मिलता है, जो 1/4-th कदम आगे बढ़ने के बराबर है:

हम $\omega^0$ से शुरू करके और घातांक में बार-बार 1 जोड़कर $\omega^1, \omega^2, \omega^3$ उत्पन्न करने के बारे में सोच सकते हैं, और इसी तरह तब तक चलते हैं जब तक कि हम $\omega^{k}$ तक नहीं पहुँच जाते, जिस बिंदु पर परिणाम मॉड्यूलो $k$ के चारों ओर रैप हो जाएंगे। यह बिल्कुल वृत्त के चारों ओर $k$ कदम चलने के समान है।

इकाई वृत्त (unit circle) के साथ सर्वांगसमता (congruences) की विज़ुअलाइज़ेशन

आइए और अधिक सर्वांगसमताओं (congruences) को शामिल करने के लिए इस वृत्त का विस्तार करें।

यदि हम $\omega^3$ और $\omega^2$ को गुणा करते हैं, तो हमें $\omega^5$ मिलेगा, जो $\omega$ के सर्वांगसम (congruent) है, बिल्कुल वैसे ही जैसे चार्ट सुझाव देता है:

इसके बारे में सोचने का एक और तरीका $\omega^2$ से शुरू करना और 3 कदम आगे बढ़ना है:

$k/2$ कदम की दूरी पर स्थित बिंदु

चूंकि वृत्त के “चारों ओर चलने” में $k$ कदम लगते हैं, इसलिए $k/2$ कदम आपको एक बिंदु से विपरीत बिंदु पर ले जाते हैं।

अब $k=4$ के वृत्त में देखें कि विपरीत बिंदु एक-दूसरे के योज्य प्रतिलोम (additive inverses) हैं (उनका योग शून्य है)। याद करें कि $-1\equiv\omega^{k/2}$। चूँकि k = 4 है, $\omega^2 =-1.$

$k=4$ के उदाहरण में, हमारे पास यह है:

• $\omega^0+\omega^2\equiv1+(-1)=0$
• $\omega^1+\omega^3\equiv\omega+(-\omega)=0$

ध्यान दें कि हम अब रूट्स ऑफ यूनिटी को एक साथ जोड़ रहे हैं, उन्हें गुणा नहीं कर रहे हैं, इसलिए घातांकों के योग (addition of exponents) का नियम लागू नहीं होता है! $\omega^0+\omega^2$ को $\omega^0\cdot\omega^2$ के साथ भ्रमित न करें! रूट्स ऑफ यूनिटी finite field तत्व हैं, और फ़ील्ड्स (fields) में 2 ऑपरेशन्स होते हैं: एडिशन (जोड़) और मल्टीप्लिकेशन (गुणा)।

k के अन्य मानों के साथ उदाहरण

यदि वृत्त को $k$ खंडों (segments) में विभाजित किया गया है, तो $k/2$ कदम चलने पर आप विपरीत दिशा में पहुँच जाते हैं। यहाँ दिखाए गए प्रत्येक मामले में, हम देखते हैं कि विपरीत बिंदु योज्य प्रतिलोम (additive inverses) हैं।

k = 8

k = 6

k = 16

सारांश

यह याद रखने के लिए कि $\omega^i+\omega^{i+k/2}$ योज्य प्रतिलोम (additive inverses) हैं (उनका योग शून्य है), हम $k$ बिंदुओं वाला एक वृत्त बनाते हैं जहाँ प्रत्येक कदम $\omega$ से एक गुणा (multiplication) है। विपरीत बिंदु योज्य प्रतिलोम होंगे।

वृत्त आरेख (circle diagram) रूट्स ऑफ यूनिटी के उपसमूहों (subgroups) के साथ-साथ वर्गमूलों (square roots) की कल्पना (visualizing) करने के लिए भी बहुत उपयोगी होगा — हम आगामी अध्यायों में उन विज़ुअलाइज़ेशन को दिखाएंगे।