Curve StableSwap 中的 get_D() 和 get_y()

Last updated on Aug 20, 2025

本文通过代数运算，逐步展示了 get_D() 和 get_y() 的代码是如何从 StableSwap 不变量中推导出来的。

已知 StableSwap 不变量：

An^n\sum x_i +D=An^nD+\frac{D^{n+1}}{n^n\prod x_i}

我们希望用它来进行两个常用的数学操作：

在给定固定的 $A$ 值以及储备量 $x_1,\dots,x_n$ 的情况下计算 $D$ 。请注意， $n$ （即资金池支持的代币种类数量）在资金池部署时是固定的。这就是 get_D() 函数的作用。
在给定 $D$ 的情况下，我们希望将其中一个储备量 $x_i$ 增加到一个新值 $x_i'$ ，并计算出另一个储备量 $x_j$ 需要减少多少以保持等式平衡。这就是 get_y() 函数的作用。这里的 “y” 指的是 $x_i'$ 。

在 Curve StableSwap 中，这些操作分别被称为 get_D() 和 get_y()。

get_D() 的目标

在 Curve V1（StableSwap）中，D 的作用类似于 Uniswap V2 中的 k —— D 越大，储备量就越多，价格曲线也就越向外推移。在添加或移除流动性，或者手续费改变了资金池余额之后，D 会发生变化——并且需要重新计算。这就是 get_D() 函数的用途。在给定资金池当前储备量的情况下，它会计算出 D。

如果一个 Curve 资金池包含两种代币 x 和 y，则 StableSwap 不变量为

4A(x + y) + D = 4AD+\frac{D^3}{4xy}

就我们的目的而言，“放大系数”（amplification factor）A 可以被视为一个常数。

get_y() 的目标

get_y() 函数在代币兑换（swap）期间使用。与 Uniswap V2 中的 k 类似，D 在兑换期间必须保持不变（忽略手续费）。具体来说，在给定 x 的新值时，它会计算出能使等式保持平衡的 y 值。因此，这是一个重要的子程序，用于计算“如果我向资金池中投入这么多代币 x，可以取出多少代币 y？”

Curve 资金池可以包含 2 种以上的代币（例如 3pool 包含 USDT、USDC 和 DAI）。Curve 通过数组中的索引来识别代币。因此，在这种情况下，x 和 y 指的是该数组中的特定代币。在此背景下，get_y() 的意思是改变特定代币 x 的余额，保持其他余额不变，但允许另一个代币 y 的值发生变化。然后，在给定 x 的特定变化量时，计算 y 应如何变化以保持不变量平衡。

n 种代币的不变量为：

An^n\sum x_i +D=An^nD+\frac{D^{n+1}}{n^n\prod x_i}

为简便起见，在本文其余部分，我们将使用 $S$ 代替求和符号，使用 $P$ 代替求积符号，因此不变量变为：

An^nS + D = ADn^n+\frac{D^{n+1}}{n^nP}

其中 $S$ 是代币余额之和（ $x_0 + x_1 + … + x_n$ ）， $P$ 是余额的乘积（ $x_0x_1...x_n$ ）， $x_i$ 是代币 i 的余额。

在白皮书中， $S$ 被写为 $\sum x_i$ ， $P$ 被写为 $\prod x_i$ 。白皮书中的公式复现如下：

An^n\sum x_i + D=ADn^n+\frac{D^{n+1}}{n^n\prod x_i}

我们将使用 $S$ 和 $P$ 来代替求和与求积符号。

我们假设资金池可以包含任意数量为 $n$ 的代币，因此公式将反映这一点。然而在实践中， $n$ 必须是一个较小的数，否则 $D^{n+1}$ 项容易发生溢出。

使用 get_D() 计算 $D$

在 get_D() 中，已知一组余额 x_0, x_1, ..., x_n，我们需要计算 D。

我们无法通过代数方法直接求解

An^nS + D = ADn^n+\frac{D^{n+1}}{n^nP}

得到 $D$ 。相反，我们需要应用牛顿法来进行数值求解。为此，我们构造一个函数 $f(D)$ ，当等式平衡时，该函数为 0。

0 =ADn^n+\frac{D^{n+1}}{n^nP}-D-An^nS

0 =\frac{D^{n+1}}{n^nP}+ADn^n-D-An^nS

\color{green}{f(D)=\frac{D^{n+1}}{n^nP}+An^nD-D-An^nS}

并且我们计算其关于 $D$ 的导数 $f'(D)$ 如下：

f'(D) = \frac{(n+1)D^n}{n^nP}+An^n-1

牛顿法公式

我们可以使用以下公式迭代求解 $D$ ：

D_\text{next}=D-\frac{f(D)}{f'(D)}

将 $f'(D)$ 表示为带有分母 $D$ 的形式会很有帮助。首先，我们将定义 $f'(D)$ 的左侧分数分子和分母同时乘以 $D$ 。

f'(D) = \frac{\frac{(n+1)D^{n+1}}{n^nP}}{D}+An^n-1

然后将 $f'(D)$ 合并为一个分数：

\begin{align*} f'(D) &= \frac{\frac{(n+1)D^{n+1}}{n^nP}}{D}+\frac{(An^n-1)D}{D}\\f'(D) &=\color{red}{\frac{\frac{(n+1)D^{n+1}}{n^nP}+(An^n-1)D}{D}} \end{align*}

我们可以将牛顿法公式重写为具有公分母的形式：

\begin{align*} D_\text{next}&=D-\frac{f(D)}{f'(D)}&&\text{// 牛顿法}\\ &=D\frac{f'(D)}{f'(D)}-\frac{f(D)} {f'(D)} &&\text{// 将 } D \text{ 乘以 }\frac{f'(D)}{f'(D)}\\ &=\frac{\color{violet}{D}\color{red}{f'(D)}-\color{green}{f(D)}}{\color{red}{f'(D)}}&&\text{// 提取公分母合并} \end{align*}

将之前的 $f(D)$ 和 $f'(D)$ 代入重写后的牛顿法公式中，我们得到：

=\frac{\color{violet}{D}\color{red}{\frac{(n+1)\frac{D^{n+1}}{n^nP}+(An^n-1)D}{D}}-\color{green}{(\frac{D^{n+1}}{n^nP}+An^nD-D-An^nS)}}{\color{red}{\frac{(n+1)\frac{D^{n+1}}{n^nP}+(An^n-1)D}{D}}}

由于我们重排了 $f'(D)$ 使其分母为 $D$ ， $\color{violet}D\color{red}f'(D)$ 项将很好地被约掉：

=\frac{\color{violet}{\cancel{D}}\color{red}{\frac{(n+1)\frac{D^{n+1}}{n^nP}+(An^n-1)D}{\cancel{D}}}-\color{green}{(\frac{D^{n+1}}{n^nP}+An^nD-D-An^nS)}}{\color{red}{\frac{(n+1)\frac{D^{n+1}}{n^nP}+(An^n-1)D}{D}}}

=\frac{(n+1)\frac{D^{n+1}}{n^nP}+(An^n-1)D-\color{green}{(\frac{D^{n+1}}{n^nP}+An^nD-D-An^nS)}}{\frac{(n+1)\frac{D^{n+1}}{n^nP}+(An^n-1)D}{D}}

展开所有项以消除分子中的括号：

=\frac{\frac{D^{n+1}}{n^nP}+\frac{nD^{n+1}}{n^nP}+An^nD-D-\frac{D^{n+1}}{n^nP}-An^nD+D+An^nS}{\frac{(n+1)\frac{D^{n+1}}{n^nP}+(An^n-1)D}{D}}

这会产生大量的相消：

=\frac{\cancel{\frac{D^{n+1}}{n^nP}}+\frac{nD^{n+1}}{n^nP}+\cancel{An^nD}-\cancel{D}-\cancel{\frac{D^{n+1}}{n^nP}}-\cancel{An^nD}+\cancel{D}+An^nS}{\frac{(n+1)\frac{D^{n+1}}{n^nP}+(An^n-1)D}{D}}\\

=\frac{\frac{nD^{n+1}}{n^nP}+An^nS}{\frac{(n+1)\frac{D^{n+1}}{n^nP}+(An^n-1)D}{D}}

我们将分子和分母同乘 $D$ ：

=\frac{(An^nS+n{\frac{D^{n+1}}{n^nP}})D}{(An^n-1)D+(n+1){\frac{D^{n+1}}{n^nP}}}

如果我们将 $D_p$ 定义为：

D_p=\frac{D^{n+1}}{n^nP}

并代入 $D_p$ ，我们得到：

=\frac{(An^nS+n\boxed{\frac{D^{n+1}}{n^nP}})D}{(An^n-1)D+(n+1)\boxed{\frac{D^{n+1}}{n^nP}}}

D_\text{next}=\frac{(An^nS+D_pn)D}{(An^n-1)D+(n+1)D_p}

与原始源代码的比较

这与 Vyper 代码中的内容完全一致：

变量 $D_p$ 的定义如下：

D_P: uint256 = D # D_P = S

for _x in xp:
    D_P = D_P * D / (_x * N_COINS)

xp 是代币的数量，因此循环将执行 n 次。因此，在分母中我们有 n 个 $D$ 相乘：

D_p=\frac{D^{n+1}}{n^n\prod_{i=1}^nx_i}

使用 get_y() 计算 y

其思路是，我们强制其中一个 $x_i$ 取一个新值（代码中称之为 x），并计算出另一个 $x_j$ （其中 $i \neq j$ ）的正确值，从而使等式保持平衡。其他代币的余额保持不变。 $x_j$ 在此处被称为 $y$ 。

尽管 StableSwap 资金池可能包含多种代币，但使用 get_y() 每次只能交换其中的两种代币。

同样，我们有相同的不变量：

An^nS + D = ADn^n+\frac{D^{n+1}}{n^nP}

$D$ 、 $A$ 和 $n$ 是固定的，但我们将改变 $S$ 和 $P$ 中的两个值：

\begin{align*} S &= x_0+x_1+...+x_n\\ P &= x_0x_1...x_n \end{align*}

因此，我们需要对公式稍作调整，因为 $S$ 和 $P$ 包含了我们正在计算的值。

$S'$ 将是所有余额的总和，不包括我们试图求解的代币 $x_i$ 的新余额。
$P$ 将是所有代币余额的乘积，不包括我们试图求解的那一个代币。

换句话说：

\begin{align*} S &= S'+y \\ P &= P'y \end{align*}

为了与代码保持一致，我们将试图计算其新余额的那个代币称为 $y$ 。

公式随之变为：

An^n(S'+y) + D = ADn^n+\frac{D^{n+1}}{n^nP'y}

同样，我们推导出一个当等式平衡时为 0 的 $f(y)$ ，以及它关于 y 的导数：

\begin{align*}f(y) &= \color{green}{ADn^n+\frac{D^{n+1}}{n^nP'y}-An^n(S'+y) - D}\\f'(y)&=\color{red}{\frac{-D^{n+1}}{n^nP'y^2}-An^n}\end{align*}

下面再次给出牛顿法公式：

y_\text{next}=y-\frac{f(y)}{f'(y)}

将 $f(y)$ 和 $f'(y)$ 代入牛顿法后，我们得到：

y_\text{next}=y-\frac{\color{green}{ADn^n+\frac{D^{n+1}}{n^nP'y}-An^n(S'+y) - D}}{\color{red}{\frac{-D^{n+1}}{n^nP'y^2}-An^n}}

从分母中提取出 $-1$ ：

y_\text{next}=y--1\cdot\frac{ADn^n+\frac{D^{n+1}}{n^nP'y}-An^n(S'+y) - D}{\frac{D^{n+1}}{n^nP'y^2}+An^n}

y_\text{next}=y+\frac{ADn^n+\frac{D^{n+1}}{n^nP'y}-An^n(S'+y) - D}{\frac{D^{n+1}}{n^nP'y^2}+An^n}

乘以 $y$ （如下方方框所示）以获得公分母：

y_\text{next}=\boxed{y}+\frac{ADn^n+\frac{D^{n+1}}{n^nP'y}-An^n(S'+y) - D}{\frac{D^{n+1}}{n^nP'y^2}+An^n}

y_\text{next}=y\frac{\frac{D^{n+1}}{n^nP'y^2}+An^n}{\frac{D^{n+1}}{n^nP'y^2}+An^n}+\frac{ADn^n+\frac{D^{n+1}}{n^nP'y}-An^n(S'+y) - D}{\frac{D^{n+1}}{n^nP'y^2}+An^n}

在左侧项中展开 $y$ ：

y_\text{next}=y\boxed{\frac{\frac{D^{n+1}}{n^nP'y^2}+An^n}{\frac{D^{n+1}}{n^nP'y^2}+An^n}}+\frac{ADn^n+\frac{D^{n+1}}{n^nP'y}-An^n(S'+y) - D}{\frac{D^{n+1}}{n^nP'y^2}+An^n}

y_\text{next}=\frac{\frac{D^{n+1}}{n^nP'y}+An^ny}{\frac{D^{n+1}}{n^nP'y^2}+An^n}+\frac{ADn^n+\frac{D^{n+1}}{n^nP'y}-An^nS'-An^ny - D}{\frac{D^{n+1}}{n^nP'y^2}+An^n}

将具有公分母的和式进行合并：

y_\text{next}=\frac{ADn^n+2\frac{D^{n+1}}{n^nP'y}-An^nS' - D}{\frac{D^{n+1}}{n^nP'y^2}+An^n}

从原始不变量中构造代换

这个等式似乎无法进一步化简，但如果我们回看原始的不变量：

An^n(S'+y) + D = ADn^n+\frac{D^{n+1}}{n^nP'y}

我们可以求解出 $ADn^n$ ，得到：

An^n(S'+y) + D = \boxed{ADn^n}+\frac{D^{n+1}}{n^nP'y}

An^n(S'+y) + D -\frac{D^{n+1}}{n^nP'y}= \boxed{ADn^n}

ADn^n=\boxed{-\frac{D^{n+1}}{n^nP'y}+An^n(S'+y) + D}

然后，如果我们将 $ADn^n$ 代入到我们最新的 $y_\text{next}$ 公式分子中，我们得到：

y_\text{next}=\frac{\boxed{ADn^n}+2\frac{D^{n+1}}{n^nP'y}-An^nS' - D}{\frac{D^{n+1}}{n^nP'y^2}+An^n}

y_\text{next}=\frac{\boxed{(-\frac{D^{n+1}}{n^nP'y}+An^n(S'+y) + D)}+2\frac{D^{n+1}}{n^nP'y}-An^nS' - D}{\frac{D^{n+1}}{n^nP'y^2}+An^n}

会发生大量的相消：

y_\text{next}=\frac{-\frac{D^{n+1}}{n^nP'y}+\cancel{An^nS'}+An^ny + \cancel{D}+\cancel{2}\frac{D^{n+1}}{n^nP'y}-\cancel{An^nS'} - \cancel{D}}{\frac{D^{n+1}}{n^nP'y^2}+An^n}

最后我们留下了一个小得多的等式：

y_\text{next}=\frac{An^ny +\frac{D^{n+1}}{n^nP'y}}{\frac{D^{n+1}}{n^nP'y^2}+An^n}

我们将分子分母同乘 $\frac{y}{An^n}$ ：

y_\text{next}=\frac{(An^ny +\frac{D^{n+1}}{n^nP'y})\frac{y}{An^n}}{(\frac{D^{n+1}}{n^nP'y^2}+An^n)\frac{y}{An^n}}

y_\text{next}=\frac{y^2 +\frac{D^{n+1}}{n^nP'An^n}}{\frac{D^{n+1}}{n^nP'y}\frac{1}{An^n}+y}

回到我们的不变量，我们可以求解出分母中的分数项：

An^n(S'+y) + D = ADn^n+\boxed{\frac{D^{n+1}}{n^nP'y}}

\frac{D^{n+1}}{n^nP'y}=\boxed{An^n(S'+y) + D -ADn^n}

然后我们可以将其代入 ynext 的等式中：

y_\text{next}=\frac{y^2 +\frac{D^{n+1}}{n^nP'An^n}}{\boxed{\frac{D^{n+1}}{n^nP'y}}\frac{1}{An^n}+y}

y_\text{next}=\frac{y^2 +\frac{D^{n+1}}{n^nP'An^n}}{\boxed{(An^n(S'+y) + D -ADn^n)}\frac{1}{An^n}+y}

然后我们可以展开 $\frac{1}{An^n}$ 并化简分母：

y_\text{next}=\frac{y^2 +\frac{D^{n+1}}{n^nP'An^n}}{((S'+y) + \frac{D}{An^n} -D)+y}

y_\text{next}=\frac{y^2 +\frac{D^{n+1}}{n^nP'An^n}}{(S'+y + \frac{D}{An^n} -D)+y}

通过去掉括号并将两个 $y$ 加在一起，进一步化简分母：

y_\text{next}=\frac{y^2 +\frac{D^{n+1}}{n^nP'An^n}}{2y+S' + \frac{D}{An^n} -D}

在原始代码中，Curve 定义了额外的变量：

c = \frac{D^{n+1}}{n^nP'An^n}

b = S' + \frac{D}{An^n}

将其代入 $y_\text{next}$ 的公式后，我们得到：

y_\text{next}=\frac{y^2 +\boxed{\frac{D^{n+1}}{n^nP'An^n}}}{2y+\boxed{S' + \frac{D}{An^n}} -D}

y_\text{next}=\frac{y^2 +c}{2y+b -D}

与原始源代码的比较

这与 Curve 代码完全一致，请见下方的紫色方框：

Ann 与 Anⁿ 之间的不匹配

令人困惑的是，Curve 白皮书使用的不变量是 $An^n$ ，但代码库中使用的是 $Ann$ 。也就是说，代码库似乎在计算 A * n * n 而不是 A * n ** n。造成这种差异的原因是，代码库将 $A$ 存储为了 $An^{n-1}$ 。由于 $n$ 在部署时是固定的，预先计算 $n^{n-1}$ 可以让代码避免在链上进行指数运算，因为这种运算的成本更高。

总结

Curve 的核心不变量不允许对变量 $D$ 或 $x_i$ 进行符号求解。相反，这些项必须通过数值方法进行求解。

从这次推导中我们可以得出一个结论，那就是优秀的代数变换是一种非常有效的Gas优化技巧。Curve 的开发者们能够计算出比简单粗暴地代入 $f$ 及其导数要小得多的牛顿法公式。

引用与致谢

在撰写本文时参考了以下资源：

StableSwap - efficient mechanism for Stablecoin liquidity, Michael Egorov, https://resources.curve.fi/pdf/curve-stableswap.pdf

Understanding the Curve AMM, Part -1: StableSwap Invariant, Atul Agarwal https://atulagarwal.dev/posts/curveamm/stableswap/

Curve Finance Discord, “chanho”

https://discord.com/channels/729808684359876718/729812922649542758/1126630568004698132

Curve - Code Explaind - get_y() | DeFi, Smart Contract Programmer https://www.youtube.com/watch?v=jAhKbxoeskQ