Curve StableSwap 中的 get_D() 和 get_y()

Last updated on Aug 20, 2025

本文通过代数运算，逐步展示了 get_D() 和 get_y() 的代码是如何从 StableSwap 不变量中推导出来的。

已知 StableSwap 不变量：

A n^{n} \sum x_{i} + D = A n^{n} D + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} \prod x_{i}}

我们希望用它来进行两个常用的数学操作：

在给定固定的 $A$ 值以及储备量 $x_{1}, \dots, x_{n}$ 的情况下计算 $D$ 。请注意， $n$ （即资金池支持的代币种类数量）在资金池部署时是固定的。这就是 get_D() 函数的作用。
在给定 $D$ 的情况下，我们希望将其中一个储备量 $x_{i}$ 增加到一个新值 $x_{i}^{'}$ ，并计算出另一个储备量 $x_{j}$ 需要减少多少以保持等式平衡。这就是 get_y() 函数的作用。这里的 “y” 指的是 $x_{i}^{'}$ 。

在 Curve StableSwap 中，这些操作分别被称为 get_D() 和 get_y()。

get_D() 的目标

在 Curve V1（StableSwap）中，D 的作用类似于 Uniswap V2 中的 k —— D 越大，储备量就越多，价格曲线也就越向外推移。在添加或移除流动性，或者手续费改变了资金池余额之后，D 会发生变化——并且需要重新计算。这就是 get_D() 函数的用途。在给定资金池当前储备量的情况下，它会计算出 D。

如果一个 Curve 资金池包含两种代币 x 和 y，则 StableSwap 不变量为

4 A (x + y) + D = 4 A D + \frac{D^{3}}{4 x y}

就我们的目的而言，“放大系数”（amplification factor）A 可以被视为一个常数。

get_y() 的目标

get_y() 函数在代币兑换（swap）期间使用。与 Uniswap V2 中的 k 类似，D 在兑换期间必须保持不变（忽略手续费）。具体来说，在给定 x 的新值时，它会计算出能使等式保持平衡的 y 值。因此，这是一个重要的子程序，用于计算“如果我向资金池中投入这么多代币 x，可以取出多少代币 y？”

Curve 资金池可以包含 2 种以上的代币（例如 3pool 包含 USDT、USDC 和 DAI）。Curve 通过数组中的索引来识别代币。因此，在这种情况下，x 和 y 指的是该数组中的特定代币。在此背景下，get_y() 的意思是改变特定代币 x 的余额，保持其他余额不变，但允许另一个代币 y 的值发生变化。然后，在给定 x 的特定变化量时，计算 y 应如何变化以保持不变量平衡。

n 种代币的不变量为：

A n^{n} \sum x_{i} + D = A n^{n} D + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} \prod x_{i}}

为简便起见，在本文其余部分，我们将使用 $S$ 代替求和符号，使用 $P$ 代替求积符号，因此不变量变为：

A n^{n} S + D = A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P}

其中 $S$ 是代币余额之和（ $x_{0} + x_{1} + \dots + x_{n}$ ）， $P$ 是余额的乘积（ $x_{0} x_{1} . . . x_{n}$ ）， $x_{i}$ 是代币 i 的余额。

在白皮书中， $S$ 被写为 $\sum x_{i}$ ， $P$ 被写为 $\prod x_{i}$ 。白皮书中的公式复现如下：

A n^{n} \sum x_{i} + D = A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} \prod x_{i}}

我们将使用 $S$ 和 $P$ 来代替求和与求积符号。

我们假设资金池可以包含任意数量为 $n$ 的代币，因此公式将反映这一点。然而在实践中， $n$ 必须是一个较小的数，否则 $D^{n + 1}$ 项容易发生溢出。

使用 get_D() 计算 $D$

在 get_D() 中，已知一组余额 x_0, x_1, ..., x_n，我们需要计算 D。

我们无法通过代数方法直接求解

A n^{n} S + D = A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P}

得到 $D$ 。相反，我们需要应用牛顿法来进行数值求解。为此，我们构造一个函数 $f (D)$ ，当等式平衡时，该函数为 0。

0 = A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} - D - A n^{n} S

0 = \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} + A D n^{n} - D - A n^{n} S

f (D) = \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} + A n^{n} D - D - A n^{n} S

并且我们计算其关于 $D$ 的导数 $f^{'} (D)$ 如下：

f^{'} (D) = \frac{(n + 1) D^{n}}{n^{n} P} + A n^{n} - 1

牛顿法公式

我们可以使用以下公式迭代求解 $D$ ：

D_{next} = D - \frac{f (D)}{f^{'} (D)}

将 $f^{'} (D)$ 表示为带有分母 $D$ 的形式会很有帮助。首先，我们将定义 $f^{'} (D)$ 的左侧分数分子和分母同时乘以 $D$ 。

f^{'} (D) = \frac{\frac{(n + 1) D^{n + 1}}{n^{n} P}}{D} + A n^{n} - 1

然后将 $f^{'} (D)$ 合并为一个分数：

\begin{matrix} f^{'} (D) & = \frac{\frac{(n + 1) D^{n + 1}}{n^{n} P}}{D} + \frac{(A n^{n} - 1) D}{D} \\ f^{'} (D) & = \frac{\frac{(n + 1) D^{n + 1}}{n^{n} P} + (A n^{n} - 1) D}{D} \end{matrix}

我们可以将牛顿法公式重写为具有公分母的形式：

\begin{matrix} D_{next} & = D - \frac{f (D)}{f^{'} (D)} & // 牛顿法 \\ = D \frac{f^{'} (D)}{f^{'} (D)} - \frac{f (D)}{f^{'} (D)} & // 将 D 乘以 \frac{f^{'} (D)}{f^{'} (D)} \\ = \frac{D f^{'} (D) - f (D)}{f^{'} (D)} & // 提取公分母合并 \end{matrix}

将之前的 $f (D)$ 和 $f^{'} (D)$ 代入重写后的牛顿法公式中，我们得到：

= \frac{D \frac{(n + 1) \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} + (A n^{n} - 1) D}{D} - (\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} + A n^{n} D - D - A n^{n} S)}{\frac{(n + 1) \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} + (A n^{n} - 1) D}{D}}

由于我们重排了 $f^{'} (D)$ 使其分母为 $D$ ， $D f^{'} (D)$ 项将很好地被约掉：

= \frac{D \frac{(n + 1) \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} + (A n^{n} - 1) D}{D} - (\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} + A n^{n} D - D - A n^{n} S)}{\frac{(n + 1) \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} + (A n^{n} - 1) D}{D}}

= \frac{(n + 1) \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} + (A n^{n} - 1) D - (\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} + A n^{n} D - D - A n^{n} S)}{\frac{(n + 1) \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} + (A n^{n} - 1) D}{D}}

展开所有项以消除分子中的括号：

= \frac{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} + \frac{n D^{n + 1}}{n^{n} P} + A n^{n} D - D - \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} - A n^{n} D + D + A n^{n} S}{\frac{(n + 1) \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} + (A n^{n} - 1) D}{D}}

这会产生大量的相消：

= \frac{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} + \frac{n D^{n + 1}}{n^{n} P} + A n^{n} D - D - \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} - A n^{n} D + D + A n^{n} S}{\frac{(n + 1) \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} + (A n^{n} - 1) D}{D}}

= \frac{\frac{n D^{n + 1}}{n^{n} P} + A n^{n} S}{\frac{(n + 1) \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} + (A n^{n} - 1) D}{D}}

我们将分子和分母同乘 $D$ ：

= \frac{(A n^{n} S + n \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P}) D}{(A n^{n} - 1) D + (n + 1) \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P}}

如果我们将 $D_{p}$ 定义为：

D_{p} = \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P}

并代入 $D_{p}$ ，我们得到：

= \frac{(A n^{n} S + n \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P}) D}{(A n^{n} - 1) D + (n + 1) \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P}}

D_{next} = \frac{(A n^{n} S + D_{p} n) D}{(A n^{n} - 1) D + (n + 1) D_{p}}

与原始源代码的比较

这与 Vyper 代码中的内容完全一致：

变量 $D_{p}$ 的定义如下：

D_P: uint256 = D # D_P = S

for _x in xp:
    D_P = D_P * D / (_x * N_COINS)

xp 是代币的数量，因此循环将执行 n 次。因此，在分母中我们有 n 个 $D$ 相乘：

D_{p} = \frac{D^{n + 1}}{n^{n} \prod_{i = 1}^{n} x_{i}}

使用 get_y() 计算 y

其思路是，我们强制其中一个 $x_{i}$ 取一个新值（代码中称之为 x），并计算出另一个 $x_{j}$ （其中 $i \neq j$ ）的正确值，从而使等式保持平衡。其他代币的余额保持不变。 $x_{j}$ 在此处被称为 $y$ 。

尽管 StableSwap 资金池可能包含多种代币，但使用 get_y() 每次只能交换其中的两种代币。

同样，我们有相同的不变量：

A n^{n} S + D = A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P}

$D$ 、 $A$ 和 $n$ 是固定的，但我们将改变 $S$ 和 $P$ 中的两个值：

\begin{matrix} S & = x_{0} + x_{1} + . . . + x_{n} \\ P & = x_{0} x_{1} . . . x_{n} \end{matrix}

因此，我们需要对公式稍作调整，因为 $S$ 和 $P$ 包含了我们正在计算的值。

$S^{'}$ 将是所有余额的总和，不包括我们试图求解的代币 $x_{i}$ 的新余额。
$P$ 将是所有代币余额的乘积，不包括我们试图求解的那一个代币。

换句话说：

\begin{matrix} S & = S^{'} + y \\ P & = P^{'} y \end{matrix}

为了与代码保持一致，我们将试图计算其新余额的那个代币称为 $y$ 。

公式随之变为：

A n^{n} (S^{'} + y) + D = A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y}

同样，我们推导出一个当等式平衡时为 0 的 $f (y)$ ，以及它关于 y 的导数：

\begin{matrix} f (y) & = A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} - A n^{n} (S^{'} + y) - D \\ f^{'} (y) & = \frac{- D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} - A n^{n} \end{matrix}

下面再次给出牛顿法公式：

y_{next} = y - \frac{f (y)}{f^{'} (y)}

将 $f (y)$ 和 $f^{'} (y)$ 代入牛顿法后，我们得到：

y_{next} = y - \frac{A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} - A n^{n} (S^{'} + y) - D}{\frac{- D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} - A n^{n}}

从分母中提取出 $- 1$ ：

y_{next} = y - - 1 \cdot \frac{A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} - A n^{n} (S^{'} + y) - D}{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}}

y_{next} = y + \frac{A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} - A n^{n} (S^{'} + y) - D}{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}}

乘以 $y$ （如下方方框所示）以获得公分母：

y_{next} = y + \frac{A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} - A n^{n} (S^{'} + y) - D}{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}}

y_{next} = y \frac{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}}{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}} + \frac{A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} - A n^{n} (S^{'} + y) - D}{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}}

在左侧项中展开 $y$ ：

y_{next} = y \frac{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}}{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}} + \frac{A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} - A n^{n} (S^{'} + y) - D}{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}}

y_{next} = \frac{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} + A n^{n} y}{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}} + \frac{A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} - A n^{n} S^{'} - A n^{n} y - D}{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}}

将具有公分母的和式进行合并：

y_{next} = \frac{A D n^{n} + 2 \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} - A n^{n} S^{'} - D}{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}}

从原始不变量中构造代换

这个等式似乎无法进一步化简，但如果我们回看原始的不变量：

A n^{n} (S^{'} + y) + D = A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y}

我们可以求解出 $A D n^{n}$ ，得到：

A n^{n} (S^{'} + y) + D = A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y}

A n^{n} (S^{'} + y) + D - \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} = A D n^{n}

A D n^{n} = - \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} + A n^{n} (S^{'} + y) + D

然后，如果我们将 $A D n^{n}$ 代入到我们最新的 $y_{next}$ 公式分子中，我们得到：

y_{next} = \frac{A D n^{n} + 2 \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} - A n^{n} S^{'} - D}{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}}

y_{next} = \frac{(- \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} + A n^{n} (S^{'} + y) + D) + 2 \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} - A n^{n} S^{'} - D}{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}}

会发生大量的相消：

y_{next} = \frac{- \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} + A n^{n} S^{'} + A n^{n} y + D + 2 \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} - A n^{n} S^{'} - D}{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}}

最后我们留下了一个小得多的等式：

y_{next} = \frac{A n^{n} y + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y}}{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}}

我们将分子分母同乘 $\frac{y}{A n^{n}}$ ：

y_{next} = \frac{(A n^{n} y + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y}) \frac{y}{A n^{n}}}{(\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}) \frac{y}{A n^{n}}}

y_{next} = \frac{y^{2} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} A n^{n}}}{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} \frac{1}{A n^{n}} + y}

回到我们的不变量，我们可以求解出分母中的分数项：

A n^{n} (S^{'} + y) + D = A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y}

\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} = A n^{n} (S^{'} + y) + D - A D n^{n}

然后我们可以将其代入 ynext 的等式中：

y_{next} = \frac{y^{2} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} A n^{n}}}{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} \frac{1}{A n^{n}} + y}

y_{next} = \frac{y^{2} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} A n^{n}}}{(A n^{n} (S^{'} + y) + D - A D n^{n}) \frac{1}{A n^{n}} + y}

然后我们可以展开 $\frac{1}{A n^{n}}$ 并化简分母：

y_{next} = \frac{y^{2} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} A n^{n}}}{((S^{'} + y) + \frac{D}{A n^{n}} - D) + y}

y_{next} = \frac{y^{2} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} A n^{n}}}{(S^{'} + y + \frac{D}{A n^{n}} - D) + y}

通过去掉括号并将两个 $y$ 加在一起，进一步化简分母：

y_{next} = \frac{y^{2} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} A n^{n}}}{2 y + S^{'} + \frac{D}{A n^{n}} - D}

在原始代码中，Curve 定义了额外的变量：

c = \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} A n^{n}}

b = S^{'} + \frac{D}{A n^{n}}

将其代入 $y_{next}$ 的公式后，我们得到：

y_{next} = \frac{y^{2} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} A n^{n}}}{2 y + S^{'} + \frac{D}{A n^{n}} - D}

y_{next} = \frac{y^{2} + c}{2 y + b - D}

与原始源代码的比较

这与 Curve 代码完全一致，请见下方的紫色方框：

Ann 与 Anⁿ 之间的不匹配

令人困惑的是，Curve 白皮书使用的不变量是 $A n^{n}$ ，但代码库中使用的是 $A n n$ 。也就是说，代码库似乎在计算 A * n * n 而不是 A * n ** n。造成这种差异的原因是，代码库将 $A$ 存储为了 $A n^{n - 1}$ 。由于 $n$ 在部署时是固定的，预先计算 $n^{n - 1}$ 可以让代码避免在链上进行指数运算，因为这种运算的成本更高。

总结

Curve 的核心不变量不允许对变量 $D$ 或 $x_{i}$ 进行符号求解。相反，这些项必须通过数值方法进行求解。

从这次推导中我们可以得出一个结论，那就是优秀的代数变换是一种非常有效的Gas优化技巧。Curve 的开发者们能够计算出比简单粗暴地代入 $f$ 及其导数要小得多的牛顿法公式。

引用与致谢

在撰写本文时参考了以下资源：

StableSwap - efficient mechanism for Stablecoin liquidity, Michael Egorov, https://resources.curve.fi/pdf/curve-stableswap.pdf

Understanding the Curve AMM, Part -1: StableSwap Invariant, Atul Agarwal https://atulagarwal.dev/posts/curveamm/stableswap/

Curve Finance Discord, “chanho”

https://discord.com/channels/729808684359876718/729812922649542758/1126630568004698132

Curve - Code Explaind - get_y() | DeFi, Smart Contract Programmer https://www.youtube.com/watch?v=jAhKbxoeskQ

Last updated on Aug 20, 2025

本文通过代数运算，逐步展示了 get_D() 和 get_y() 的代码是如何从 StableSwap 不变量中推导出来的。

已知 StableSwap 不变量：

A n^{n} \sum x_{i} + D = A n^{n} D + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} \prod x_{i}}

我们希望用它来进行两个常用的数学操作：

在给定固定的 $A$ 值以及储备量 $x_{1}, \dots, x_{n}$ 的情况下计算 $D$ 。请注意， $n$ （即资金池支持的代币种类数量）在资金池部署时是固定的。这就是 get_D() 函数的作用。
在给定 $D$ 的情况下，我们希望将其中一个储备量 $x_{i}$ 增加到一个新值 $x_{i}^{'}$ ，并计算出另一个储备量 $x_{j}$ 需要减少多少以保持等式平衡。这就是 get_y() 函数的作用。这里的 “y” 指的是 $x_{i}^{'}$ 。

在 Curve StableSwap 中，这些操作分别被称为 get_D() 和 get_y()。

get_D() 的目标

如果一个 Curve 资金池包含两种代币 x 和 y，则 StableSwap 不变量为

4 A (x + y) + D = 4 A D + \frac{D^{3}}{4 x y}

就我们的目的而言，“放大系数”（amplification factor）A 可以被视为一个常数。

get_y() 的目标

n 种代币的不变量为：

A n^{n} \sum x_{i} + D = A n^{n} D + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} \prod x_{i}}

为简便起见，在本文其余部分，我们将使用 $S$ 代替求和符号，使用 $P$ 代替求积符号，因此不变量变为：

A n^{n} S + D = A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P}

其中 $S$ 是代币余额之和（ $x_{0} + x_{1} + \dots + x_{n}$ ）， $P$ 是余额的乘积（ $x_{0} x_{1} . . . x_{n}$ ）， $x_{i}$ 是代币 i 的余额。

在白皮书中， $S$ 被写为 $\sum x_{i}$ ， $P$ 被写为 $\prod x_{i}$ 。白皮书中的公式复现如下：

A n^{n} \sum x_{i} + D = A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} \prod x_{i}}

我们将使用 $S$ 和 $P$ 来代替求和与求积符号。

我们假设资金池可以包含任意数量为 $n$ 的代币，因此公式将反映这一点。然而在实践中， $n$ 必须是一个较小的数，否则 $D^{n + 1}$ 项容易发生溢出。

使用 get_D() 计算 $D$

在 get_D() 中，已知一组余额 x_0, x_1, ..., x_n，我们需要计算 D。

我们无法通过代数方法直接求解

A n^{n} S + D = A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P}

得到 $D$ 。相反，我们需要应用牛顿法来进行数值求解。为此，我们构造一个函数 $f (D)$ ，当等式平衡时，该函数为 0。

0 = A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} - D - A n^{n} S

0 = \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} + A D n^{n} - D - A n^{n} S

f (D) = \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} + A n^{n} D - D - A n^{n} S

并且我们计算其关于 $D$ 的导数 $f^{'} (D)$ 如下：

f^{'} (D) = \frac{(n + 1) D^{n}}{n^{n} P} + A n^{n} - 1

牛顿法公式

我们可以使用以下公式迭代求解 $D$ ：

D_{next} = D - \frac{f (D)}{f^{'} (D)}

将 $f^{'} (D)$ 表示为带有分母 $D$ 的形式会很有帮助。首先，我们将定义 $f^{'} (D)$ 的左侧分数分子和分母同时乘以 $D$ 。

f^{'} (D) = \frac{\frac{(n + 1) D^{n + 1}}{n^{n} P}}{D} + A n^{n} - 1

然后将 $f^{'} (D)$ 合并为一个分数：

\begin{matrix} f^{'} (D) & = \frac{\frac{(n + 1) D^{n + 1}}{n^{n} P}}{D} + \frac{(A n^{n} - 1) D}{D} \\ f^{'} (D) & = \frac{\frac{(n + 1) D^{n + 1}}{n^{n} P} + (A n^{n} - 1) D}{D} \end{matrix}

我们可以将牛顿法公式重写为具有公分母的形式：

\begin{matrix} D_{next} & = D - \frac{f (D)}{f^{'} (D)} & // 牛顿法 \\ = D \frac{f^{'} (D)}{f^{'} (D)} - \frac{f (D)}{f^{'} (D)} & // 将 D 乘以 \frac{f^{'} (D)}{f^{'} (D)} \\ = \frac{D f^{'} (D) - f (D)}{f^{'} (D)} & // 提取公分母合并 \end{matrix}

将之前的 $f (D)$ 和 $f^{'} (D)$ 代入重写后的牛顿法公式中，我们得到：

= \frac{D \frac{(n + 1) \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} + (A n^{n} - 1) D}{D} - (\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} + A n^{n} D - D - A n^{n} S)}{\frac{(n + 1) \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} + (A n^{n} - 1) D}{D}}

由于我们重排了 $f^{'} (D)$ 使其分母为 $D$ ， $D f^{'} (D)$ 项将很好地被约掉：

= \frac{D \frac{(n + 1) \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} + (A n^{n} - 1) D}{D} - (\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} + A n^{n} D - D - A n^{n} S)}{\frac{(n + 1) \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} + (A n^{n} - 1) D}{D}}

= \frac{(n + 1) \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} + (A n^{n} - 1) D - (\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} + A n^{n} D - D - A n^{n} S)}{\frac{(n + 1) \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} + (A n^{n} - 1) D}{D}}

展开所有项以消除分子中的括号：

= \frac{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} + \frac{n D^{n + 1}}{n^{n} P} + A n^{n} D - D - \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} - A n^{n} D + D + A n^{n} S}{\frac{(n + 1) \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} + (A n^{n} - 1) D}{D}}

这会产生大量的相消：

= \frac{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} + \frac{n D^{n + 1}}{n^{n} P} + A n^{n} D - D - \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} - A n^{n} D + D + A n^{n} S}{\frac{(n + 1) \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} + (A n^{n} - 1) D}{D}}

= \frac{\frac{n D^{n + 1}}{n^{n} P} + A n^{n} S}{\frac{(n + 1) \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P} + (A n^{n} - 1) D}{D}}

我们将分子和分母同乘 $D$ ：

= \frac{(A n^{n} S + n \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P}) D}{(A n^{n} - 1) D + (n + 1) \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P}}

如果我们将 $D_{p}$ 定义为：

D_{p} = \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P}

并代入 $D_{p}$ ，我们得到：

= \frac{(A n^{n} S + n \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P}) D}{(A n^{n} - 1) D + (n + 1) \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P}}

D_{next} = \frac{(A n^{n} S + D_{p} n) D}{(A n^{n} - 1) D + (n + 1) D_{p}}

与原始源代码的比较

这与 Vyper 代码中的内容完全一致：

变量 $D_{p}$ 的定义如下：

D_P: uint256 = D # D_P = S

for _x in xp:
    D_P = D_P * D / (_x * N_COINS)

xp 是代币的数量，因此循环将执行 n 次。因此，在分母中我们有 n 个 $D$ 相乘：

D_{p} = \frac{D^{n + 1}}{n^{n} \prod_{i = 1}^{n} x_{i}}

使用 get_y() 计算 y

尽管 StableSwap 资金池可能包含多种代币，但使用 get_y() 每次只能交换其中的两种代币。

同样，我们有相同的不变量：

A n^{n} S + D = A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P}

$D$ 、 $A$ 和 $n$ 是固定的，但我们将改变 $S$ 和 $P$ 中的两个值：

\begin{matrix} S & = x_{0} + x_{1} + . . . + x_{n} \\ P & = x_{0} x_{1} . . . x_{n} \end{matrix}

因此，我们需要对公式稍作调整，因为 $S$ 和 $P$ 包含了我们正在计算的值。

$S^{'}$ 将是所有余额的总和，不包括我们试图求解的代币 $x_{i}$ 的新余额。
$P$ 将是所有代币余额的乘积，不包括我们试图求解的那一个代币。

换句话说：

\begin{matrix} S & = S^{'} + y \\ P & = P^{'} y \end{matrix}

为了与代码保持一致，我们将试图计算其新余额的那个代币称为 $y$ 。

公式随之变为：

A n^{n} (S^{'} + y) + D = A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y}

同样，我们推导出一个当等式平衡时为 0 的 $f (y)$ ，以及它关于 y 的导数：

\begin{matrix} f (y) & = A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} - A n^{n} (S^{'} + y) - D \\ f^{'} (y) & = \frac{- D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} - A n^{n} \end{matrix}

下面再次给出牛顿法公式：

y_{next} = y - \frac{f (y)}{f^{'} (y)}

将 $f (y)$ 和 $f^{'} (y)$ 代入牛顿法后，我们得到：

y_{next} = y - \frac{A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} - A n^{n} (S^{'} + y) - D}{\frac{- D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} - A n^{n}}

从分母中提取出 $- 1$ ：

y_{next} = y - - 1 \cdot \frac{A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} - A n^{n} (S^{'} + y) - D}{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}}

y_{next} = y + \frac{A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} - A n^{n} (S^{'} + y) - D}{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}}

乘以 $y$ （如下方方框所示）以获得公分母：

y_{next} = y + \frac{A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} - A n^{n} (S^{'} + y) - D}{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}}

y_{next} = y \frac{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}}{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}} + \frac{A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} - A n^{n} (S^{'} + y) - D}{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}}

在左侧项中展开 $y$ ：

y_{next} = y \frac{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}}{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}} + \frac{A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} - A n^{n} (S^{'} + y) - D}{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}}

y_{next} = \frac{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} + A n^{n} y}{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}} + \frac{A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} - A n^{n} S^{'} - A n^{n} y - D}{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}}

将具有公分母的和式进行合并：

y_{next} = \frac{A D n^{n} + 2 \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} - A n^{n} S^{'} - D}{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}}

从原始不变量中构造代换

这个等式似乎无法进一步化简，但如果我们回看原始的不变量：

A n^{n} (S^{'} + y) + D = A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y}

我们可以求解出 $A D n^{n}$ ，得到：

A n^{n} (S^{'} + y) + D = A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y}

A n^{n} (S^{'} + y) + D - \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} = A D n^{n}

A D n^{n} = - \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} + A n^{n} (S^{'} + y) + D

然后，如果我们将 $A D n^{n}$ 代入到我们最新的 $y_{next}$ 公式分子中，我们得到：

y_{next} = \frac{A D n^{n} + 2 \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} - A n^{n} S^{'} - D}{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}}

y_{next} = \frac{(- \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} + A n^{n} (S^{'} + y) + D) + 2 \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} - A n^{n} S^{'} - D}{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}}

会发生大量的相消：

y_{next} = \frac{- \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} + A n^{n} S^{'} + A n^{n} y + D + 2 \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} - A n^{n} S^{'} - D}{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}}

最后我们留下了一个小得多的等式：

y_{next} = \frac{A n^{n} y + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y}}{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}}

我们将分子分母同乘 $\frac{y}{A n^{n}}$ ：

y_{next} = \frac{(A n^{n} y + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y}) \frac{y}{A n^{n}}}{(\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y^{2}} + A n^{n}) \frac{y}{A n^{n}}}

y_{next} = \frac{y^{2} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} A n^{n}}}{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} \frac{1}{A n^{n}} + y}

回到我们的不变量，我们可以求解出分母中的分数项：

A n^{n} (S^{'} + y) + D = A D n^{n} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y}

\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} = A n^{n} (S^{'} + y) + D - A D n^{n}

然后我们可以将其代入 ynext 的等式中：

y_{next} = \frac{y^{2} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} A n^{n}}}{\frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} y} \frac{1}{A n^{n}} + y}

y_{next} = \frac{y^{2} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} A n^{n}}}{(A n^{n} (S^{'} + y) + D - A D n^{n}) \frac{1}{A n^{n}} + y}

然后我们可以展开 $\frac{1}{A n^{n}}$ 并化简分母：

y_{next} = \frac{y^{2} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} A n^{n}}}{((S^{'} + y) + \frac{D}{A n^{n}} - D) + y}

y_{next} = \frac{y^{2} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} A n^{n}}}{(S^{'} + y + \frac{D}{A n^{n}} - D) + y}

通过去掉括号并将两个 $y$ 加在一起，进一步化简分母：

y_{next} = \frac{y^{2} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} A n^{n}}}{2 y + S^{'} + \frac{D}{A n^{n}} - D}

在原始代码中，Curve 定义了额外的变量：

c = \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} A n^{n}}

b = S^{'} + \frac{D}{A n^{n}}

将其代入 $y_{next}$ 的公式后，我们得到：

y_{next} = \frac{y^{2} + \frac{D^{n + 1}}{n^{n} P^{'} A n^{n}}}{2 y + S^{'} + \frac{D}{A n^{n}} - D}

y_{next} = \frac{y^{2} + c}{2 y + b - D}

与原始源代码的比较

这与 Curve 代码完全一致，请见下方的紫色方框：

Ann 与 Anⁿ 之间的不匹配

总结

Curve 的核心不变量不允许对变量 $D$ 或 $x_{i}$ 进行符号求解。相反，这些项必须通过数值方法进行求解。

引用与致谢

在撰写本文时参考了以下资源：

StableSwap - efficient mechanism for Stablecoin liquidity, Michael Egorov, https://resources.curve.fi/pdf/curve-stableswap.pdf

Understanding the Curve AMM, Part -1: StableSwap Invariant, Atul Agarwal https://atulagarwal.dev/posts/curveamm/stableswap/

Curve Finance Discord, “chanho”

https://discord.com/channels/729808684359876718/729812922649542758/1126630568004698132

Curve - Code Explaind - get_y() | DeFi, Smart Contract Programmer https://www.youtube.com/watch?v=jAhKbxoeskQ