本文提供了几个代数群的例子，以便您能对它们建立直观的认识。

群（group）是一个包含以下特征的集合：

• 一个封闭的二元运算符
• 该二元运算符满足结合律
• 一个单位元（identity element）
• 每个元素都有一个逆元（inverse）

我们之前还讨论过阿贝尔群（abelian groups）。阿贝尔群有一个额外的要求，即二元运算符必须满足交换律。

现在是时候将群作为一种数学结构来进行讨论了。

使用整数加法作为群的例子时，一个令人困惑的地方是学生经常会问：“但你难道不能把整数相乘吗？”

不可否认，这确实容易让人混淆。还有其他的代数结构，比如环（rings）和域（fields），它们涉及两个二元运算符。但是，就目前而言，请将群看作是只有一个固定不变的二元运算符的结构，而且从群的视角来看，任何其他可能的二元运算符要么不存在，要么不需要关注。

更令人困惑的是：有时候二元运算符是其他二元运算符伪装的。

例如，在处理只有加法运算的群时，有时作者会随意提及乘法，即使该群并没有这个二元运算符。在这种语境下的乘法，实际上只是重复执行某次加法运算特定次数的简写形式。

群的示例

感受群的最好方法就是看大量的例子。让我们开始吧。

1. 平凡群（The trivial group）

假设我们的群是一个由数字 $\set{0}$ 组成的集合，其二元运算符为加法。很明显，该二元运算符是封闭的且满足结合律

而且每个元素都有一个单位元和逆元。

这并不是一个有趣的群，但它是你能创建的最小的有效群。

请注意，群不能为空，因为根据定义，它必须包含一个单位元。

作为留给读者的练习，请证明带有二元运算符 $\times$ 的集合 $\set{1}$ 是一个群。

2. 实数在乘法下不是群

尽管实数（$\mathbb{R}$）在乘法下有单位元（数字 $1$），并且是封闭的且满足结合律，但并不是所有的实数都有逆元。

实数可以通过取其乘法逆元（$(1 / n)$）来求逆，但是零虽然也是实数，却不能求逆，因为 $1/0$ 是未定义的，且不是实数。

严格来说，$a$ 的逆元是 $b$，使得 $ab = 1$。这里的含义是，如果 $a = 0$，则在集合中不存在元素 $b$ 能使得 $ab = 1$。

然而，不包括零的正实数在乘法下是一个群。每个元素都有一个逆元（$1/n$），并且单位元是 1。

练习： 整数（正数和负数）在乘法下不是群。请说明这不满足四个要求（封闭性、结合律、存在单位元、所有元素都有逆元）中的哪一个或哪几个。

3. 实数的 $n \times m$ 矩阵在加法下是一个群

让我们来分析一下：

矩阵加法是封闭的且满足结合律。如果你将一个实数 $n \times m$ 矩阵与另一个实数 $n \times m$ 矩阵相加，你会得到一个实数 $n \times m$ 矩阵。
单位矩阵是一个全为零的 $n \times m$ 矩阵。
矩阵的逆元是该矩阵乘以 -1。
嘿，等等，我们不是不允许乘以 -1 吗？

群并不要求逆元“必须能使用群的二元运算符来计算得出”，只要求它存在。也就是说，我们将逆元计算为每个元素乘以 $-1$，即使乘以 $-1$ 并不是群运算。

如果我们将 $n \times m$ 矩阵的运算符定义为阿达马乘积（Hadamard product，逐元素乘法），出于上述讨论的相同原因，这将不能成为一个群。具体来说，逆元是计算矩阵中每个元素的倒数，如果其中一个元素是零，那么这个逆元就无法计算。

如果我们将运算符定义为方阵上的传统矩阵乘法，则它是否是一个群取决于集合的定义，正如我们将在第 5 节的例子中看到的那样。

4. 欧几里得平面上 2D 点的集合在逐元素加法下是一个群

这其实是前一个例子的特殊情况，但让我们从不同的角度来看待它。

考虑标准 2D 平面上所有实数值 $(x, y)$ 点的集合。

我们的二元运算符是将点相加，例如 $(1,1) + (2,2) = (3,3)$。

我们的单位元是原点，因为与原点相加，其他点的位置保持不变。

一个点的逆元就是它关于原点的“镜像”（$x$ 和 $y$ 坐标取反），因为当你将一个点与它的逆元相加时，结果就是原点。

5. 行列式非零的 $n \times n$ 矩阵在乘法下是一个群

复习一下，如果一个矩阵的行列式非零，那么它就是可逆的。当一个行列式非零的矩阵乘以另一个行列式非零的矩阵时，乘积同样具有非零行列式。事实上，我们可以更具体点，如果 $A$、$B$ 和 $C$ 是方阵，并且 $AB = C$，那么 $\det(A) \times \det(B) = \det(C)$。

让我们根据定义来梳理一下：

• 非零行列式矩阵的乘法是封闭的，因为乘积将始终具有非零行列式，你无法“离开这个群”。矩阵乘法满足结合律。
• 单位元就是单位矩阵（主对角线全为 1，其余全为零）。
• 逆元就是矩阵的逆，而行列式非零的矩阵是可逆的。

6. 行列式为零的 $n \times n$ 矩阵在乘法下不是群

请记住，行列式为零的矩阵是不能求逆的，所以这个集合不可能有逆元。在这种情况下，我们也没有单位元，因为单位矩阵的行列式为一。由于没有单位元，这个集合和二元运算符甚至不能构成一个幺半群（monoid），它只是一个半群（semigroup）。

7. 具有固定次数上限的所有多项式集合在加法下是一个群

如果我们说“在加法下，所有次数不超过 7 的实系数多项式”，这是一个有效的群。

• 多项式加法是封闭的且满足结合律
• 单位元是多项式 $0$（准确地说是 $0x^0$）
• 逆元是将系数乘以 $-1$
• 我们不能说次数“必须等于 7”，因为单位元的次数是 0，这样它就不会属于该群。

具有固定次数上限的多项式在乘法下不是一个群，因为通常在多项式相乘时次数会变大，因此该运算符将不具备封闭性。

8. 模素数的加法是一个群

让我们以素数 $7$ 为例。

在这里，单位元依然是 $0$，因为加上 $0$ 会得到原本的数字。

在这种情况下，$5$ 的逆元是什么？

它就是 $2$，因为 $7 - 5 = 2$，或者说 $5 + 2 \mod 7$ 等于零（单位元）。

9. 模素数的乘法不是群

在这个例子中，零没有逆元。

如果我们去除了数字 $0$，那么它就是一个群。此时单位元是 1，而元素 $a$ 的逆元是它的模逆元 $a^{-1}$。

10. 固定底数的整数次幂在乘法下是一个群

如果将 $b$ 的两个整数次幂相乘，结果依然是该底数的整数次幂。例如，$2^3 \times 2^4 = 2^{3 + 4} = 2^7$。这适用于任意底数：

单位元是 $b^0$，即 $1$，$b^x$ 的逆元是 $b^{-x}$。

有限群（Finite groups）

顾名思义，有限群包含的元素数量是有限的。加法下的所有整数集合不是有限的，但模素数的整数加法是一个有限群。

在零知识证明中，我们只使用有限群。

群的阶（Order of a group）

群的阶是指群中元素的数量。

循环群（Cyclic groups）

循环群是这样一种群，它包含一个元素，且群中的每个元素都可以通过对该元素（或其逆元）重复应用二元运算符来“生成”。

循环群的例子

示例 1：由 0 组成的加法群是一个循环群

这是显而易见的，因为 $0 + 0 = 0$ 生成了群中的每个元素。

示例 2：模 7 加法是一个循环群

如果我们从 $1$ 开始，并将 $1$ 重复与自身相加，我们将生成该群中的每个元素。例如：

示例 3：如果不包含零，模 $7$ 乘法是一个循环群

在这里选择生成元时我们必须小心，因为例如 $2$ 就无法生成整个群。

我们可以看到 $2$ 只能生成 $\set{1,2,4}$。然而，如果我们选择 $3$ 作为生成元，那么我们就能生成整个群。

之所以 $3$ 有效而 $2$ 无效，是因为 $3$ 是一个*原根（primitive root）*。

我们可以使用 galois 库来寻找原根：

Copy
from galois import GF
GF7 = GF(7)
print(GF7.primitive_elements)
# [3, 5]

从上面的代码输出可以看出，$5$ 也能生成所有非零元素。

如果一个群是循环群，那么它就是阿贝尔群

这一点有些微妙，但可以考虑以下推导：

在循环群中，群里的每一个元素都可以生成为 $(g + g + … + g)$ 的形式。让我们随意挑选一个元素 $r$。我们将这组加法按如下方式划分：

基于结合律，我们可以添加括号

令 $g$ 与自身相加 $m$ 次的结果为 $p$，$g$ 与自身相加 $n$ 次的结果为 $q$。因此，

根据结合律，我们可以如下重新划分原方程（请注意 $m$ 和 $n$ 互换了位置！）

我们得到了：

因此，如果群是循环群，那么它必定是阿贝尔群。

请注意，这个命题的逆命题并不成立。实数在加法下是阿贝尔群，但它们不是循环群。

循环群不一定要基于模素数的算术，但在我们讨论零知识证明时，这将是我们使用的唯一一种循环群。

群的单位元是唯一的

一个群不可能有两个单位元。不要把这个问题想得太复杂，它可以通过简单的反证法推导出来。假设 $\square$ 是我们的二元运算符，$e$ 是我们的单位元。

假设我们有另一个单位元 $e'$。这意味着：

如果我们认为 $e \neq e'$，那么以下必定也成立：

但这显然是一个矛盾，因此单位元必定是唯一的。

群在零知识证明中的应用

为了零知识证明而理解群论，更多的是对词汇的熟悉。当我们说到“逆元（inverse）”或“单位元（identity）”时，我们希望你能立即领会它们的含义。

此外，群还能帮助我们在不理解其内部运作原理的情况下，推理极其复杂的数学对象。我们在本文中使用了大家熟悉的例子，但在后续内容中，我们将处理非常陌生的对象，比如基于扩域的椭圆曲线（elliptic curves over field extensions）。即使你不知道那究竟是什么，只要我们告诉你它是一个群，你就已经能对其有相当程度的了解了。

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本文是零知识证明（ZK proofs）系列文章的一部分。请参阅我们的 ZK Book 获取完整系列。

首发于 2023 年 8 月 1 日