如果 $\omega$ 是一个 $k$ 次单位根，那么 $\omega^i$ 和 $\omega^{i+k/2}$ 互为加法逆元（additive inverses），这个性质看起来可能有点抽象——本章引入了一种可视化方法，使这个概念更容易被记住。

回顾一下，$k$ 次单位根是通过将本原 $k$ 次单位根 $\omega$ 进行连续求幂生成的。例如，如果 $k=4$，我们将 4 次单位根计算为：

• $\omega^0=1$
• $\omega^1=\omega$
• $\omega^2=\omega^2$
• $\omega^3=\omega^3$

如果我们继续算下去，指数将会在模 4 下发生回绕（wrap around）：

• $\omega^4=1$ （根据 4 次单位根的定义）
• $\omega^5=\omega^4\omega=1\cdot\omega =\omega$
• $\omega^6=\omega^4\omega^2=1\cdot\omega^2=\omega^2$
• $\omega^7=\omega^4\omega^3=1\cdot\omega^3=\omega^3$
• $\omega^8=\omega^4\omega^4=1$
• $\omega^9=\omega^4\omega^4\omega=\omega$

依此类推。

请注意，指数在 4 的每个倍数处都会发生“回绕”。因此，对于任何 $\omega^i$ 和 $\omega^j$，$\omega^i\omega^j=\omega^{i+j\pmod k}$。由于在我们的示例中 $k=4$，因此我们有 $\omega^i\omega^j=\omega^{i+j\pmod 4}$。

现在回顾一下，模 $k$ 加法可以表示为一个“时钟”。在这里，我们的时钟由“小时标记” 0、1、2、3 组成，它们是 $\omega$ 的指数。

思考这个问题的一种方法是：

“在时钟上将两个数字 $i$ 和 $j$ 相加，等价于将指数为 $i$ 和 $j$ 的单位根（即 $\omega^i$ 和 $\omega^j$）相乘。”

如果我们取任何一个单位根并将其指数加 1，这等价于将该单位根乘以 $\omega^1$（或者就是 $\omega$）。例如，将 $\omega^2$ 乘以 $\omega$ 等同于在指数上加 1 得到 $\omega^3$。

因此，将一个 $k$ 次单位根乘以 $\omega$ 或在其指数上加 1，等同于沿着圆周移动 $1/k$ 步。

例如，如果我们把 $\omega^2$ 乘以 $\omega,$ 我们会得到 $\omega^3$，这等于向前移动了 1/4 步：

我们可以这样理解生成单位根的过程：从 $\omega^0$ 开始，不断在指数上加 1 来生成 $\omega^1, \omega^2, \omega^3$ 等等，直到我们达到 $\omega^{k}$，此时结果将在模 $k$ 的意义下回绕。这完全等同于沿着圆周走 $k$ 步。

用单位圆可视化同余

让我们扩展这个圆，以包含更多的同余（congruences）关系。

如果我们将 $\omega^3$ 和 $\omega^2$ 相乘，我们将得到 $\omega^5$，它与 $\omega$ 同余，正如上面图表所显示的那样：

另一种思考方式是，从 $\omega^2$ 开始，向前走 3 步：

相距 k/2 步的点

既然“绕圆一圈”需要走 $k$ 步，那么走 $k/2$ 步就会把你从一个点带到它相对的那个点。

现在观察 $k=4$ 的圆，相对的点互为加法逆元（它们的和为零）。回顾一下 $-1\equiv\omega^{k/2}$。由于 k = 4，所以 $\omega^2 =-1.$

在 $k=4$ 的示例中，我们有：

• $\omega^0+\omega^2\equiv1+(-1)=0$
• $\omega^1+\omega^3\equiv\omega+(-\omega)=0$

注意，我们现在是将单位根相加，而不是相乘，因此指数相加法则在这里不适用！不要把 $\omega^0+\omega^2$ 错误当成 $\omega^0\cdot\omega^2$！单位根是有限域元素，而域有 2 种运算：加法和乘法。

其他 k 值的示例

如果圆被划分为 $k$ 个片段，那么走 $k/2$ 步会带你到对面的一侧。在下面展示的每种情况下，我们都可以看到相对的点互为加法逆元。

k = 8

k = 6

k = 16

总结

为了记住 $\omega^i+\omega^{i+k/2}$ 互为加法逆元（它们的和为零），我们可以画一个有 $k$ 个点的圆，其中每一步都表示乘以 $\omega.$。圆上相对的点即为加法逆元。

圆形图表对于可视化单位根的子群（subgroups）以及平方根也非常有用——我们将在后续章节中展示这些可视化内容。