定点数是一种仅存储分数分子而分母是隐含的整数。

这种类型的运算在大多数编程语言中并不需要，因为它们有浮点数。但在 Solidity 中却是必需的，因为 Solidity 只有整数，而我们经常需要对分数进行运算。

定点数在大多数 DeFi 智能合约中都很常见，因此理解它们是必须的。

例如，如果“隐含分母”是 100，那么包含“10”的定点数将被解释为 0.1。

Solidity 中最常见的定点数隐含分母是 $10^{18}$：这也是以太坊和大多数 ERC-20 代币的“小数位数”（decimals）。当我们读取一个以太坊地址的余额时，我们隐式地将该数字除以 $10^{18}$ 以确定其 Ether 数量。例如，一个余额为 $10^{19}$ 的地址被解释为拥有 10 Ether —— 因为除以 $10^{18}$ 是隐含的。

分母为 $10^{18}$ 的定点数非常常见，以至于 Solidity 社区的工程师们将其称为“Wad”（该名称最初由 MakerDAO 引入）。有时，一个 18 位的定点数会被解释为将最右侧的 18 位数字分配给小数部分，例如，数字“10”表示如下：

然而，我们发现这种心智模型会让定点数运算更难学习，因此本文将使用这样一种心智模型：定点数保存的是分子，而 $10^{18}$ 分母是隐含的。

在本文中，我们将学习如何使用定点数进行算术运算，并解释流行的定点数库是如何工作的。

将整数转换为定点数

要将整数转换为定点数，请将该整数乘以隐含分母。例如，“2 ether”是 $2 \times 10^{18}$，因此要将整数 2 转换为“2 ether”，我们将其乘以 $10^{18}$。隐含分母的 $10^{18}$ 会与乘上的 $10^{18}$ 相互抵消。

定点数相乘

要将两个定点数相乘，我们遵循分数相乘的规则：

1. 分子相乘
2. 分母相乘
3. 简化结果。

例如：

但是，我们在实践中可以优化此计算，因为对于定点数，分母始终是相同的。

现在让我们考虑另一组具有公分母的分数：

然而，我们不想返回一个隐含分母为 $d^2$​ 的结果，因为这将与我们选择的隐含分母不兼容。因此，我们需要将分子和分母除以 $d$，以返回一个与我们选择的分母一致的定点数。

因此，如果 $x$ 和 $y$ 是隐含分母为 $d^2$ 的定点数，我们可以将其乘积计算为 $(x \times y)/d$。

定点数相乘的代码示例

Solady 库有一个 mulWad 数学运算函数，用于将两个隐含 Wad 分母（$10^{18}$）的定点数相乘。下面展示了该代码，并解释它与我们前面的讨论有何联系：

核心算法位于截图底部（在绿色框内）。我们在那里计算 $(x \times y)/d$，其中 $d$ 是 WAD 或 $10^{18}$（如截图顶部声明 WAD 的地方所示）。

实际示例

假设一个用户有 1 DAI（具有 18 位小数），我们希望在假设其存款赚取了 15% 利息的情况下来计算其余额。这是一个需要定点数算术的明显例子，因为我们无法在 Solidity 中直接将一个数字乘以 1.15。

除以 1e18 后的输出结果是 1.15。当然，我们实际上不能除以 1e18，因为那会抹去小数部分。我们需要使用定点数表示法，因为 1.15 不能表示为整数。上面的代码可以在这里的 Remix 上进行测试。

定点数与整数相乘

将分数 $x$ 乘以整数 $y$ 等同于将 $x$ 乘以 $y/1$：

因此，当我们将定点数与整数相乘时，不需要任何额外的步骤。我们只需将返回值解释为分母不变的定点数即可。

定点数相除

要对分数进行除法运算，我们将第二个分数“翻转”（取倒数）并将它们相乘。例如：

现在让我们考虑一个它们具有相同分母的例子：

请注意，公分母 10 被抵消了。如果我们想用 10 的隐含分母来表示 2（即将其表示为分母为 10 的定点数），我们需要再将其乘以 10：

因此，对于具有公分母 $d$ 的一般情况下的 $x$ 和 $y$，如果我们希望用隐含分母 $d$ 来表示输出，我们必须执行以下操作：

因此，如果 $x$ 和 $y$ 是隐含分母为 $d$ 的定点数，我们可以将其商计算为 $(x \times d)/y$。

Copy
/// @dev Equivalent to `(x * WAD) / y` rounded down.
function divWad(uint256 x, uint256 y) internal pure returns (uint256 z) {
    /// @solidity memory-safe-assembly
    assembly {
        // Equivalent to `require((y != 0 && (WAD == 0 || x <= type(uint256).max / WAD))`.
        if iszero(mul(y, iszero(mul(WAD, gt(x, div(not(0), WAD)))))) {
            mstore(0x00, 0x7c5f487d) // `DivWadFailed()`.
            revert(0x1c, 0x04)
        }
        z := div(mul(x, WAD), y)
    }
}

如果我们将 mulWad() 和 divWad() 并排放在一起，我们可以看到它们之间唯一的区别（在计算步骤，而不是溢出检查中）在于，除法（div）情况下乘以的是一个倒置的分数。

定点数除以整数

假设我们要将 2.5 除以 2（或者一般来说将某个分数除以一个整数）。没有必要通过 $(2 \times d)/d$ 将 2 转换为定点数。

将分数 $x$ 除以整数 $y$ 等同于将 $x$ 的分子除以 $y$。

请注意，$35 \div 3 = 11$，而不是 11.666，因为我们使用的是整数除法，而不是浮点数。我们只需将该定点数除以整数，并将结果解释为定点数。与定点数乘以整数的情况一样，分母保持不变。

定点数加减法

分母相同的分数相加减时，只需简单地进行相加减，而忽略分母。我们将总和解释为与加数具有相同隐含分母的定点数。例如，

因此，当对相同分母的定点数进行加法运算时，我们只需像对普通整数一样将它们加在一起即可。

考虑一个隐含分母为 100 的例子：

为了计算它，我们只需进行 $50 - 40 = 10$，我们不需要将 100 纳入计算中。

二进制与十进制定点数

二进制定点数是指分母可以表示为 $2^n$ 的定点数。二进制定点数通常使用 Q 格式（Q notation）表示。例如，UQ112x112 使用 $2^{112}$ 作为分母。U 代表“无符号（unsigned）”。用于保存 UQ112x112 的数据类型将是 224。另一种解释方式是，“小数点后的小数部分”保留在最右侧的 112 位中，而“整数部分”保留在左侧的 112 位中。

再举个例子，UQ64x64（或 UQ64.64）是一个 uint128，它将“小数部分”保留在最低有效（least significant）的 64 位中，并将“整数部分”保留在最高有效（most significant）的位数中。这依然可以被解释为具有 $2^{64}$ 的隐含分母，我们接下来就会看到。

二进制定点数的优点是我们可以使用节省 Gas 的左移位操作来代替乘以分母（在将整数转换为定点数时），或在除法时使用右移位操作。

作为一个基本示例，请考虑：
(1) 2 的二进制表示为 10
(2) 16 的二进制表示为 10000
(3) $16 = 2 \times 2^3$
(4) binary(100) = binary(10) << 3

请注意，3 是 (3) 中的指数，也是在 (4) 中我们向左移动位数的数量。

移动 e 位的位移操作与乘以 $2^e$ 之间的这种关系在通常情况下都成立。以下操作是等价的：

Copy
// x * 2¹¹² equals x left bitshifted by 112 bits
x * 2 ** 112 == x << 112

// x / 2¹¹² equals x right bitshifted by 112 bits
x / 2 ** 112 == x >> 112

x 可以是任意数字，只要它适合该无符号整数的数据类型。

ABDK 库 使用以下函数将无符号整数转换为定点数（隐含分母为 $2^{64}$）：

require 语句确保 x 小于 type(int64).max，因为 ABDK 库使用的是有符号定点数。向左移 64 位等同于乘以 $2^{64}$。

类似地，当 ABDK 执行乘法运算时，它不会将 x 和 y 的乘积除以 $2^{64}$，而是向右移 64 位：

Uniswap V2 定点数库

Uniswap V2 的定点数库非常简单，因为 Uniswap V2 使用定点数进行的唯一操作就是加法以及将定点数除以整数。

Copy
pragma solidity =0.5.16;

// A library for handling binary fixed point numbers (https://en.wikipedia.org/wiki/Q_(number_format))

// range: [0, 2**112 - 1]
// resolution: 1 / 2**112

library UQ112x112 {
    uint224 constant Q112 = 2**112;

    // encode a uint112 as a UQ112x112
    function encode(uint112 y) internal pure returns (uint224 z) {
        z = uint224(y) * Q112; // never overflows
    }

    // divide a UQ112x112 by a uint112, returning a UQ112x112
    function uqdiv(uint224 x, uint112 y) internal pure returns (uint224 z) {
        z = x / uint224(y);
    }
}

encode() 函数将 uint112 转换为存储在 uint224 中的定点数。Uniswap V2 使用的隐含分母为 2**112。如果它使用位移而不是乘法，可能会更节省 Gas（这可能是 Uniswap 开发者犯的一个错误）。

定点数存储在 uint224 中，它的大小是与之交互的 uint112 的两倍。在编码（encode）操作期间，uint112 数字的位实际上被移动到了 uint224 的最高有效 112 位。

使用较小的 uint 大小时，这种“编码”操作更容易形象化。让我们使用一个假设隐含分母为 $2^8$ 的定点数。下面，我们将展示在将 uint8 编码为分母为 $2^8$ 的定点数时会发生什么：

从二进制表示为 01111101 的数字 125 开始，如果将其乘以 $2^8$，乘积为 32000，将其存储在 16 位 uint 中表示为 0111110100000000。请注意，将 125 乘以 $2^8$ 具有与向左移 8 位相同的效果。

uqdiv() 函数只是执行定点数除以整数的操作，这不需要额外的步骤。

Uniswap 使用此库来累加下面的 TWAP 预言机的价格。每次更新发生时，TWAP 都会将最新价格添加到一个累加器中（该累加器用于在额外步骤中计算平均价格，这超出了本文的讨论范围）。由于价格表示为分数，定点数是表示它们的理想方式。

变量 _reserve0 和 _reserve1 保存着资金池中最新的代币余额，数据类型为 uint112。price0CumulativeLast 和 price1CumulativeLast 为 UQ112x112（隐含分母为 $2^{112}$ 的定点数）。下面这段来自 Uniswap V2 的代码将分子转换为定点数（UQ112x112）并将其除以一个整数（分母不转换为 UQ112x112）。其结果是一个定点数。

向上取整与向下取整

定点数库在执行除法时通常具有向上取整的选项。例如，Solady 有：

• mulWadUp —— 将两个定点数相乘，但在除以 d 时向上取整。回想一下，将两个定点数相乘的公式是 $(x \times y) / d$。
• mulDivUp —— 两个定点数相除，但在除法运算时向上取整

Solidity 的除法始终向下取整，例如 $10 / 3 = 3$。然而，如果我们向上取整，$10 / 3$ 将等于 4。在计算记账金额（credits）或价格时，人们应始终做出对协议有利、对用户不利的取整操作。例如，如果我们在计算用户应为固定数量的另一种资产支付多少费用时，我们应该向上取整价格。

例如：

• $10 / 3$ 向下取整为 3.3333
• $10 / 3$ 向上取整为 3.3334（具体取决于我们分母的大小）

向上取整只是意味着如果余数不为零，则将结果加 1。例如，$9 / 3 = 3$ 能够整除，因此我们不应该返回 4。然而，$10 / 3$ 和 $11 / 3$ 的余数分别为 1 和 2，因此我们应该将除法的结果加上 1。

这是 Solmate 库 的实现方式：

在绿色下划线部分，代码检查取模结果是否大于零。如果是，则将 1 添加到结果中（向上取整），否则添加 0（不向上取整）。

最初发布于 6 月 10 日