在之前的章节中，我们了解到该协议存储的是价格的平方根而不是价格本身。因此，有必要将 tick 与定点数 Q64.96 格式表示的价格平方根联系起来。

在本章中，我们将探讨如何在 sqrtPriceX96 和 tick 之间进行转换。

协议存储 Tick 索引

tick 是离散的价格，由公式 $p(i)=1.0001^i$ 给出，其中 $i$ 被称为 tick 索引（tick index），或简称为 tick。拥有 tick 索引后，就可以唯一确定 tick 价格，反之亦然。由于存储 tick 索引 $i$ 比存储 $p(i)$ 占用的位数更少，因此协议存储的是 tick 索引而不是 tick 价格。

在本书中，我们将交替使用 tick（价格）和 tick 索引 这两个术语。在代码库中，名为 tick 的变量始终指代 tick 索引 $i$。

给定 sqrtPriceX96 计算 Tick 索引

我们首先回顾一下价格的平方根与变量 sqrtPriceX96 之间的关系：

因此，通过对两边求平方，即可得出价格与 sqrtPriceX96 之间的关系：

由于价格和 tick 索引之间的关系为 $p = 1.0001^i$，我们可以得出

为了用 sqrtPriceX96 来确定 tick 索引 $i$，我们对上述等式的两边取对数。

对数总是基于某个底数计算的。例如，如果 $b^a=c$，那么 $\log_b{c}=a$（以 b 为底取对数）。然而，上述等式中的对数可以以任意数值为底。对此的原因将在本章最后一节中解释。

Tick 索引是一个离散值

实际上，上述公式并不完全正确，原因在于：sqrtPriceX96 是一个连续值，而 tick 索引 i 是离散的（一个整数）。因此，该值需要向下取整。

这可以从下面的动画中看出来，其中我们使用了一个可以在我们关于 tick 的文章中找到的工具。请注意，虽然价格在不断变化，但该价格对应的 tick 始终是紧挨着它的下方那一个。

因此，tick 的精确公式为：

其中符号 $\lfloor ...\rfloor$ 表示向下取整，例如，$\lfloor 3.14 \rfloor = 3$。

给定 Tick 索引计算 sqrtPriceX96

为了从 tick 索引计算价格的平方根，我们从以下公式开始：

然后，两边取平方根并乘以 $2^{96}$，

在代码库中实现 Tick 与价格之间的相互转换

在 Solidity 中，tick 和 sqrtPriceX96 之间的转换是由 TickMath library 处理的，由于在 Solidity 中实现对数和平方根较为复杂，因此我们将在单独的一章中对其进行研究。

它包含两个函数：getSqrtRatioAtTick 和 getTickAtSqrtRatio，它们负责执行 sqrtPriceX96 与其对应的 tick 索引之间的相互转换。如下所示。

我们在上一节中已经了解了这些公式的数学原理。在本节中，我们将使用 Python 来执行这一计算。

getSqrtRatioAtTick 函数

Python 中的 getSqrtRatioAtTick 函数可以写为：

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def getSqrtRatioAtTick(i):
    return math.sqrt(1.0001 ** i) * 2**96    

举个例子，价格上限的 sqrtPriceX96 值可以使用 getSqrtRatioAtTick(887272) 来计算，结果为 1.4614467034780703e+48，这（大约）等于 TickMath 库中的 MAX_SQRT_RATIO 常量。

使用 Decimal 库

为了获得更精确的结果，我们可以使用 Python 中的 Decimal 库。下面是使用该库编写的相同公式，以及计算得出的 MAX_SQRT_RATIO 的值。

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import math
from decimal import Decimal, getcontext

getcontext().prec = 50 

def getSqrtRatioAtTick(i):
    base = Decimal("1.0001")
    exponent = Decimal(i)
    sqrt_value = base ** (exponent / 2) 
    multiplier = Decimal(2) ** 96
    return sqrt_value * multiplier
    
print(int(getSqrtRatioAtTick(887272)))  # 1461446703485210103244672773810124308346321380902

getTickAtSqrtRatio 函数

Python 中的 getTickAtSqrtRatio 函数可以写为：

Copy
def getTickAtSqrtRatio(sqrtPriceX96):
    return math.floor(2*math.log(sqrtPriceX96/2**96)/math.log(1.0001))

举个例子，sqrtPriceX96 下限值 4295128739 对应的 tick，可以使用 getTickAtSqrtRatio(4295128739) 来计算，结果为 -887272，这符合 tick 下限的预期。

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getTickAtSqrtRatio(4295128739) // -887272

改变对数的底数

当我们推导公式时：

我们提到过对数可以以任意数值为底。在 Python 的公式实现中，我们使用了自然对数，但我们也可以使用以 10 为底或任何其他底数的对数，这都会产生相同的结果。

原因在于对数的一个基本性质（换底公式），它将不同底数的对数联系起来：

其中 $a$ 和 $b$ 是两个不同的底数，而 $k$ 是我们想要计算的对数的真数。例如，将以自然数 $e$ 为底的对数转换为以 10 为底的对数，我们得到：

需要注意的关键点是，除数 $\log_e{(10)}$ 仅取决于底数，而与真数无关。假设我们有一个分数：

如果我们想将对数转换为某个任意底数 b，我们将分子和分母都除以 $\log_b(10)$。然而，将一个分数的分子和分母都除以同一个值对最终答案没有影响，因为它会被消掉。

让我们将这一关系应用到我们的 tick 索引 $i$ 公式中，并将其从自然底数转换为以 10 为底，来更清楚地说明这一点：

正如我们所看到的，转换因子被抵消了，无论底数是多少，计算结果都是一样的。

总结

• 协议需要在 sqrtPriceX96 和 tick 索引之间进行转换。这可以通过位于 TickMath 库中的 getSqrtRatioAtTick 和 getTickAtSqrtRatio 函数来完成。
• 要将 sqrtPriceX96 转换为 tick 索引，应使用以下公式：

• 要将 tick 索引转换为 sqrtPriceX96，应使用以下公式：

练习题

浏览 Uniswap V3 Pools 找到矿池地址，然后在区块链浏览器中打开该地址。找到公共变量 slot0 并将 tick 转换为 price（价格），反之亦然。

检查你的计算结果是否接近 Uniswap 提供的值，然后将 sqrtPriceX96 转换为美元金额。

对以下矿池进行练习：

• 以太坊上的 USDC/ETH
  • Uniswap Pool UI
  • Etherscan contract link
• Base 上的 ETH/USDC
  • Uniswap Pool UI
  • Etherscan contract link
• 主网上的 WBTC/USDC
  • Uniswap Pool UI
  • Etherscan contract link

稍后我们将学习为什么智能合约直接使用 slot0 中的 sqrtPriceX96（可用于获取价格）和 tick 数据是不安全的，目前这仅仅是为了练习。