Ortogonalidad de las raíces de la unidad

Last updated on Apr 21, 2026

La suma de las potencias de las raíces $k$ -ésimas de la unidad generadas por una raíz $k$ -ésima primitiva de la unidad es cero o $k$ . Llamamos a esta propiedad la ortogonalidad de las raíces de la unidad. Aprovecharemos directamente esta propiedad en el próximo capítulo.

Primero ilustramos esta propiedad a través de ejemplos, para que el lector se familiarice con ella. Luego la demostraremos de forma general.

La suma de las potencias de las raíces de la unidad

Consideremos las raíces $k$ -ésimas de la unidad generadas por una raíz $k$ -ésima primitiva de la unidad $\omega$ :

[ 1, \omega, \omega^2, ..., \omega^{k-1} ]

Si tomamos esta lista de elementos y elevamos cada elemento a una potencia $m$ , obtenemos otra lista:

[ 1^m, \omega^m, (\omega^2)^m, ..., (\omega^{k-1})^m]

El objetivo de este capítulo es mostrar qué sucede cuando sumamos todos los elementos de esta nueva lista. En otras palabras, queremos calcular el valor de la suma $s$ a continuación para cualquier $m$ :

s = 1^m + \omega^m + (\omega^2)^m + ... + (\omega^{k-1})^m

Consideremos las raíces cuartas ( $4$ -ésimas) de la unidad en $\mathbb{F}_{17}$ (aunque cualquier cuerpo con una raíz cuarta primitiva de la unidad funcionaría). Para una raíz primitiva $\omega$ , estas raíces son

[1, \omega^1, \omega^2, \omega^3],

o, usando que $\omega^2 \equiv -1$ en este caso, son

[ 1, \omega, -1, -\omega ]

Elevemos estos elementos a algún exponente $m$ , digamos $m=3$ :

[ 1^3, \omega^3, (-1)^3, (-\omega)^3 ]

Podemos simplificar algunos de estos elementos notando que $(-1)^3 = -1$ y $(-\omega)^3 = - \omega^3$ .

Por lo tanto, la misma lista puede escribirse como

[ 1, \omega^3, -1, -\omega^3 ]

La suma de estos elementos es cero, ya que

1 + \omega^3 + (-1) + (-\omega^3) = 0

Como otro ejemplo, comencemos nuevamente con las raíces cuartas de la unidad en $\mathbb{F}_{17}$ , pero ahora elevemos cada elemento a la potencia de 8.

Esto produce los siguientes elementos:

[ 1^8, \omega^8, (-1)^8, (-\omega)^8 ]

Dado que $8$ es par, tenemos $(-1)^8 = 1$ y $(-\omega)^8 = \omega^8$ .

Además, recordemos que para las raíces cuartas de la unidad, $\omega^4=1$ . Por lo tanto, $\omega^8 = (\omega^4)^2 = 1^2 = 1$ .

Por lo tanto, nuestra lista se simplifica a

[ 1^8=1, \omega^8=1, 1^8=1, \omega^8=1 ]

La suma de los elementos es

s=1 + 1+1+1=4

En los ejemplos anteriores, cuando $m$ no es un múltiplo de $k$ $(k=4,m=3)$ , la suma es cero, pero cuando $m$ es un múltiplo de $k$ ( $k=4,m=8$ ), la suma es $k$ . Esto es cierto en general.

Mostraremos y demostraremos lo siguiente:

Si la potencia $m$ no es un múltiplo de $k$ , la suma es cero.
De lo contrario, si $m$ es un múltiplo de $k$ , la suma es $k$ .

Antes de demostrar este hecho de forma general, veamos un ejemplo más.

Raíces octavas de la unidad en $\mathbb{F}_{17}$

Consideremos las raíces octavas ( $8$ -vas) de la unidad en $\mathbb{F}_{17}$ . Pueden escribirse como

[ 1, \omega, \omega^2, \omega^3, -1, -\omega, -\omega^2, - \omega^3 ],

donde usamos que $\omega^4 \equiv -1$ para una raíz octava primitiva de la unidad $\omega$ .

Si elevamos cada elemento de esta lista a una potencia $m$ que no es múltiplo de $8$ y sumamos todos los elementos, el resultado es cero. De lo contrario, si $m$ es un múltiplo de $8$ , la suma es $8$ .

La nueva lista está dada por

[1^m, \omega^m, (\omega^{2})^m, (\omega^3)^m, (-1)^m, (-\omega)^m, (-\omega^{2})^m, (-\omega^3)^m ]

Verifiquemos los casos posibles.

Caso 1: $m$ no es un múltiplo de $8$

Consideremos el caso $m=2$ . La lista es

[ 1^2, \omega^2, (\omega^2)^2, (\omega^3)^2, (-1)^2, (-\omega)^2,(-\omega^2)^2, (-\omega^3)^2 ]

Puede escribirse como

[1, \omega^2, \omega^4, \omega^6, 1, \omega^2, \omega^4, \omega^6 ]

Usando el hecho de que $\omega^4 \equiv -1$ , la lista se convierte en

[1, \omega^2, -1, -\omega^2, 1, \omega^2, -1, -\omega^2 ]

Sumando estos elementos, obtenemos

\begin{aligned} s &= 1 + \omega^2 + (-1) + (-\omega^2) + 1 + \omega^2 + (-1) + (-\omega^2) \\ &= (1 - 1) + (\omega^2 - \omega^2) + (1 - 1) + (\omega^2 - \omega^2) \\ &= 0 \end{aligned}

Ejercicio: Demuestra que la suma se anula para $m=3$ y $m=4$ .

Caso 2: $m$ es un múltiplo de 8

Consideremos el caso donde $m=16$ . Entonces obtenemos la nueva lista

[1^{16}, \omega^{16}, (\omega^2)^{16}, (\omega^3)^{16}, (-1)^{16}, (-\omega)^{16}, (-\omega^2)^{16}, (-\omega^3)^{16} ],

[1, \omega^{16}, \omega^{32}, \omega^{48}, 1, \omega^{16}, \omega^{32}, \omega^{48} ]

También tenemos que:

\begin{aligned} \omega^{16} &= (\omega^8)^2 \\ \omega^{32} &= (\omega^8)^4 \\ \omega^{48} &= (\omega^8)^6 \end{aligned}

Como sabemos que $\omega^{8} \equiv 1$ para cualquier raíz octava primitiva de la unidad, la lista es en realidad

[1,1^2,1^4,1^6,1,1^2,1^4,1^6]

y la suma de todos los términos es $8$ .

Suma de las potencias de las raíces $k$ -ésimas de la unidad

Ahora demostremos de forma general lo que hemos mostrado a través de ejemplos.

Teorema. Consideremos todas las raíces $k$ -ésimas de la unidad generadas por una raíz $k$ -ésima primitiva de la unidad $\omega$ . La suma de las potencias de estas raíces $k$ -ésimas de la unidad es:

cero si la potencia no es un múltiplo de $k$ ;
$k$ si la potencia es un múltiplo de $k$ .

A continuación, demostraremos los dos casos por separado.

Caso (1): Demostración de que la suma es cero cuando el exponente no es un múltiplo de $k$

Consideremos las raíces $k$ -ésimas de la unidad, cada una elevada a una potencia $m$ que no es un múltiplo de $k$ :

[ (\omega^0)^m, (\omega^1)^m, (\omega^2)^m, ..., (\omega^{k-1})^m ]

Queremos calcular la suma

s = (\omega^0)^m + (\omega^1)^m + (\omega^2)^m + ... + (\omega^{k-1})^m

Esta suma puede escribirse como

s = \sum_{i=0}^{k-1} (\omega^{i})^m

Podemos usar el hecho de que $(\omega^i)^m = (\omega^m)^i$ para reescribir la suma como

s = \sum_{i=0}^{k-1} (\omega^{m})^i

La fórmula anterior es una serie geométrica, es decir, una suma de potencias sucesivas del mismo elemento:

s = (\omega^m)^0 + (\omega^m)^1 + (\omega^m)^2 + ... + (\omega^m)^{k-1}

Una serie geométrica de esta forma satisface

s = (\omega^m)^0 + (\omega^m)^1 + (\omega^m)^2 + ... + (\omega^m)^{k-1} = \frac{(\omega^m)^k - 1}{\omega^m -1}

Para demostrar que la fracción anterior es igual a cero, primero debemos mostrar que el denominador es distinto de cero y luego que el numerador es igual a cero.

El hecho de que $m$ no sea un múltiplo de $k$ es crucial aquí. Recordemos la definición de una raíz $k$ -ésima primitiva de la unidad: es un elemento $\omega$ tal que $\omega^k \equiv 1$ , pero $\omega^r \neq 1$ para cualquier $0 \leq r <k$ .

Por lo tanto, para las raíces $k$ -ésimas primitivas de la unidad $\omega$ , solo las potencias de $\omega^k$ son iguales a $1$ , como $(\omega^k)^0, (\omega^k)^1, (\omega^k)^2$ , y así sucesivamente.

Dado que $m$ no es un múltiplo de $k$ , $\omega^m$ no tiene la forma $\omega^{nk}$ para ningún entero $n$ , y por lo tanto $\omega^m \neq 1$ . Así, el denominador $\omega^m-1$ de la fracción anterior es distinto de cero.

Consideremos ahora el numerador $(\omega^m)^k - 1$ . Puede escribirse como $(\omega^k)^m - 1$ .

Dado que $\omega$ es una raíz $k$ -ésima primitiva de la unidad, tenemos $\omega^k = 1$ , y el numerador se convierte en

\begin{align*} (\omega^k)^m -1 &=(1)^m-1 \\ &= 1 - 1 \\ &= 0 \end{align*}

Como el numerador es cero y el denominador es distinto de cero, toda la suma es cero.

En la siguiente sección, estudiaremos el caso donde el exponente $m$ es un múltiplo de $k$ .

Caso (2): Elevar cada elemento a un exponente que es un múltiplo de $k$

En esta sección, mostraremos que la suma de las raíces $k$ -ésimas de la unidad elevadas a una potencia $m$ que sí es un múltiplo de $k$ no es cero, sino más bien $k$ .

Consideremos las raíces $k$ -ésimas de la unidad

[ \omega^0, \omega^1, \omega^2, ..., \omega^{k-1} ]

Elevemos cada elemento en esta lista a alguna potencia $m$ :

[ (\omega^0)^m, (\omega^1)^m, (\omega^2)^m, ..., (\omega^{k-1})^m ]

Dado que $(a^b)^c = (a^c)^b$ , podemos reorganizar cada término anterior de la siguiente manera:

[ (\omega^m)^0, (\omega^m)^1, (\omega^m)^2, ..., (\omega^m)^{k-1} ]

Ahora consideremos el caso en el que $m$ es un múltiplo de $k$ , es decir, $m=kn$ para algún $n$ . Así, nuestra lista puede escribirse como

[ (\omega^{nk})^0, (\omega^{nk})^1, (\omega^{nk})^2, ..., (\omega^{nk})^{k-1} ]

Dado que $\omega^{nk} = (\omega^k)^n$ , obtenemos la lista

[ (\omega^{k})^{0n}, (\omega^{k})^{1n}, (\omega^{k})^{2n},..., (\omega^{k})^{(k-1)n}]

Usando $\omega^k \equiv 1$ , la lista consiste en el número 1 elevado a alguna potencia:

[ (1)^{0n}, (1)^{1n}, (1)^{2n},..., (1)^{(k-1)n}]

o simplemente

[1,1,1,...,1]

Como hay $k$ elementos en la lista, la suma es

\underbrace{1 + 1 + 1 + \dots + 1}_{k \text{ veces}} = k

Combinando las dos propiedades

Una manera elegante y conveniente de expresar ambas propiedades es la siguiente:

\sum_{i=0}^{k-1} (\omega^{i})^{m}=\begin{cases}k, & \text{si } m \text{ es un múltiplo de } k,\\[6pt]0, & \text{en caso contrario}.\end{cases}

Aquí la sumatoria va desde el primer término, $\omega^0$ , hasta el último, $\omega^{k-1}$ .

El producto interno de dos listas de raíces $k$ -ésimas de la unidad

En esta sección, reescribiremos nuestra relación obtenida anteriormente en una forma que sea más adecuada para su uso en los siguientes capítulos.

Más precisamente, la escribiremos como

\sum_{i=0}^{k-1} (\omega^{i})^{r-s}=\begin{cases}k, & \text{si } r\equiv s \pmod{k},\\[6pt]0, & \text{en caso contrario}.\end{cases}

Primero, demostremos que estas dos formas son iguales, y luego motivemos la segunda.

Las dos formas son equivalentes

Si $r$ es congruente con $s$ mod $k$ (segunda forma), entonces $r-s = nk$ para algún entero $n$ .

Por lo tanto, estamos diciendo que $r-s$ , que en la primera forma se escribe como $m$ , es un múltiplo de $k$ . Esto es lo mismo que afirmar que $m$ es un múltiplo de $k$ .

La razón para usar $r$ y $s$ en la segunda forma es que consideraremos el producto interno de dos vectores, cada uno compuesto por potencias de las raíces de la unidad.

El producto interno de dos vectores de raíces de la unidad

Consideremos dos vectores de raíces $k$ -ésimas de la unidad. El primer vector, $A$ , está elevado a la potencia $r$ y tiene la forma

A =[ (\omega^0)^r, \omega^r, (\omega^2)^r, ..., (\omega^{k-1})^r ]

El segundo vector, $B$ , está elevado al exponente negativo $-s$ y tiene la forma

B = [ (\omega^0)^{-s}, \omega^{-s}, (\omega^2)^{-s}, ..., (\omega^{k-1})^{-s} ]

Nota: Elevar la raíz $k$ -ésima primitiva de la unidad a una potencia negativa no es un problema. Podemos escribir $\omega^{-s} = (\omega^{-1})^s$ , donde $\omega^{-1}$ es el inverso multiplicativo de $\omega$ .

Como $\omega^{k} = 1$ , al multiplicar ambos lados por $\omega^{-1}$ obtenemos $\omega^{-1} = \omega^{k-1}$ . Elevando ambos lados a la potencia $s$ , obtenemos $\omega^{-s} = \omega^{(k-1)s}$ .

El producto interno de los vectores $A$ y $B$ es

A \cdot B = (\omega^0)^r \cdot (\omega^0)^{-s} + \omega^r \cdot \omega^{-s} + ... + (\omega^{k-1})^r (\omega^{k-1})^{-s}

De manera equivalente, esto puede escribirse como

A \cdot B = (\omega^0)^{r-s} + \omega^{r-s} + ... + (\omega^{k-1})^{r-s}

En una notación compacta, el producto interno de $A$ y $B$ puede escribirse como

A \cdot B = \sum_{i=0}^{k-1} (\omega^{i})^{r-s}

Por lo tanto, la fórmula

\sum_{i=0}^{k-1} (\omega^{i})^{r-s}=\begin{cases}k, & \text{si } r\equiv s \pmod{k},\\[6pt]0, & \text{en caso contrario}.\end{cases}

puede entenderse de la siguiente manera: el producto interno de dos vectores cuyas entradas son potencias de raíces $k$ -ésimas de la unidad es $k$ o cero, dependiendo de si los exponentes $r$ y $s$ son congruentes módulo $k$ . Usaremos este hecho en los siguientes capítulos.

Este artículo es parte de una serie sobre la Number Theoretic Transform en nuestro ZK Book