Raíces cuadradas de las raíces de la unidad

Last updated on Nov 12, 2025

La raíz cuadrada de un número $x$ es $y$ tal que $y^2=x$ . Cuando $x$ tiene la forma $x^m$ y $m$ es par, entonces la raíz cuadrada es fácil de calcular: es simplemente $x^{m/2}$ . Esto se deriva de la regla de la potencia de los exponentes:

x^\frac{m}{2}\cdot x^\frac{m}{2}=x^{\frac{m}{2}+\frac{m}{2}}=x^\frac{2m}{2}=x^m

Si restringimos los exponentes para que sean enteros, entonces $x^{m}$ tiene una raíz cuadrada si y solo si $m$ es par. Por lo tanto, $x^\frac{m}{2}$ es una raíz cuadrada de $x^m$ .

Las raíces cuadradas tienen dos soluciones. Por ejemplo, la raíz cuadrada entera de 4 es 2 y -2. Así, también sabemos que si $x^{m/2}$ es una raíz cuadrada de $x^m$ , entonces $-x^{m/2}$ también es una raíz cuadrada. Podemos verificar esto algebraicamente como

(-x^\frac{m}{2})(-x^\frac{m}{2})=(-1)(-1)(x^\frac{m}{2})(x^\frac{m}{2})=x^\frac{m}{2}x^\frac{m}{2}=x^m

Ejemplos del cálculo de raíces cuadradas de números en forma de exponente

Ejemplo 1: ¿Cuál es la raíz cuadrada de $17^{52}$ ?

El exponente es par, por lo que podemos dividir el exponente entre dos. La respuesta es $17^{26}$ y $-17^{26}$ .

Ejemplo 2: ¿Cuál es la raíz cuadrada de $13^{8k}$ ?

Dado que $k$ está multiplicado por 8, no importa si $k$ es par o no porque el producto será par, así que sabemos que el exponente se puede dividir entre dos. La mitad de $8k$ es $4k$ , por lo que la respuesta es $13^{4k}$ y $-13^{4k}$ .

Ejemplo 3: ¿Cuál es la raíz cuadrada de $a^{2c}$ ?

De nuevo, no necesitamos conocer $a$ ni $c$ . Está garantizado que el exponente es par debido a la multiplicación por dos. Dividiendo el exponente entre 2, obtenemos $c$ , por lo que las raíces cuadradas son $a^c$ y $-a^c$ .

Regla de los exponentes para raíces cuadradas

El valor $a^{m}$ tiene como raíces cuadradas $a^{m/2}$ y $-a^{m/2}$ . El exponente de las raíces cuadradas será un entero si y solo si $m$ es par.

Aplicación de la regla de los exponentes para raíces cuadradas a las raíces de la unidad

Como ya hemos visto en varias ocasiones, las raíces de la unidad se escriben como potencias de una raíz primitiva de la unidad. Aquí está el subgrupo multiplicativo de las raíces octavas de la unidad:

\set{\omega^0\equiv1,\omega^1,\omega^2,\omega^3,\omega^4\equiv-1,\omega^5,\omega^6,\omega^7}

Recordemos la identidad de que $-\omega^i=\omega^{k/2+i}$ .

Puesto que $k=8$ en nuestro ejemplo, $k/2=4$ , por lo que $\omega$ y $\omega^{5}$ tienen una separación de $k/2$ . Por lo tanto, también podemos escribir las raíces octavas de la unidad como

\set{1,\omega,\omega^2,\omega^3,-1,-\omega,-\omega^2,-\omega^3}

Basándonos en la regla de los exponentes para raíces cuadradas, solo las potencias pares de omega tienen raíces cuadradas (consideramos que el 0 es par en este contexto):

\set{\boxed{\omega^0\equiv1},\omega^1,\boxed{\omega^2},\omega^3,\boxed{\omega^4\equiv-1},\omega^5,\boxed{\omega^6},\omega^7}

Podemos calcular sus raíces cuadradas de la siguiente manera:

$\sqrt{\omega^0}=1, -1$ o equivalentemente $\omega^0$ y $\omega^4$
$\sqrt{\omega^2}=\omega,-\omega$ o equivalentemente $\omega$ y $\omega^5$
$\sqrt{\omega^4}=\omega^2,-\omega^2$ o equivalentemente $\omega^2$ y $\omega^6$
$\sqrt{\omega^6}=\omega^3,-\omega^3$ o equivalentemente $\omega^3$ y $\omega^7$

Si visualizamos las raíces octavas de la unidad en el círculo, notamos que solo los miembros de los subgrupos rojos (las potencias pares, o equivalentemente las potencias de $\omega^2$ ) tienen raíces cuadradas:

El siguiente diagrama muestra cómo cada evaluación de una raíz cuadrada da como resultado dos puntos opuestos en el círculo:

Extraer la raíz cuadrada de las raíces k-ésimas de la unidad produce las raíces 2k-ésimas de la unidad (si existen)

En un capítulo anterior, vimos que elevar al cuadrado las raíces de la unidad reduce a la mitad el tamaño del conjunto (asumiendo que el conjunto tiene un tamaño par). Extraer la raíz cuadrada de las raíces de la unidad duplica el tamaño del conjunto. Por ejemplo, consideremos las raíces octavas de la unidad generadas por $\omega$ como se mostró anteriormente:

\set{1,\omega,\omega^2,\omega^3,\omega^4,\omega^5,\omega^6,\omega^7}

Si elevamos al cuadrado cada elemento, obtenemos el conjunto:

\set{1,\omega^2,\omega^4,\omega^6}

Ahora, si extraemos la raíz cuadrada de cada elemento en este nuevo conjunto, obtenemos las raíces octavas originales de la unidad, como se mostró en la sección anterior:

$\sqrt{\omega^0}=1, -1$ o equivalentemente $\omega^0$ y $\omega^4$
$\sqrt{\omega^2}=\omega,-\omega$ o equivalentemente $\omega$ y $\omega^5$
$\sqrt{\omega^4}=\omega^2,-\omega^2$ o equivalentemente $\omega^2$ y $\omega^6$
$\sqrt{\omega^6}=\omega^3,-\omega^3$ o equivalentemente $\omega^3$ y $\omega^7$

Esta no es una observación profunda: el cuadrado y la raíz cuadrada son operaciones opuestas, por lo que, naturalmente, la raíz cuadrada debería “deshacer” lo que hace el cuadrado y viceversa.

Sin embargo, esto abre la puerta a una optimización que aprovecharemos más adelante. Uno puede elevar al cuadrado las raíces de la unidad repetidamente para reducir el conjunto, llevar a cabo alguna operación y luego usar la raíz cuadrada para “elevar” el resultado de vuelta al conjunto original. Introduciremos los mecanismos en los próximos capítulos, pero por ahora, el lector debe tener absolutamente dominado el siguiente concepto:

Elevar al cuadrado las raíces $k$ -ésimas de la unidad reduce el conjunto a las raíces $k/2$ -ésimas de la unidad. Extraer las raíces cuadradas de las raíces $k/2$ -ésimas de la unidad produce las raíces $k$ -ésimas de la unidad y duplica el tamaño del conjunto.

Resumen

Solo las potencias pares de las raíces de la unidad tienen raíces cuadradas.
Las raíces cuadradas de $\omega^m$ son $\omega^{m/2}$ y $-\omega^{m/2}$ .
Basándonos en un capítulo anterior, sabemos que $-\omega^{m/2}\equiv\omega^{m/2+k/2}$ .
Visualizando las raíces cuadradas en un círculo. Dado que las raíces cuadradas siempre son inversos aditivos entre sí, la raíz cuadrada de una raíz de la unidad se encuentra en “lados opuestos” del círculo.

Problemas de práctica

Sea $\omega$ la raíz cuarta primitiva de la unidad. ¿Cuáles son las raíces cuadradas de $-\omega^2$ ?
Sea $\omega$ la raíz primitiva 32-ésima de la unidad. ¿Cuáles son las raíces cuadradas de $-\omega^{16}$ ?
Sea $\omega$ la raíz primitiva 16-ésima de la unidad. ¿Cuáles son las raíces cuadradas de $-1$ ?