单位根的平方根

Last updated on Nov 12, 2025

数字 $x$ 的平方根是 $y$ ，满足 $y^2=x$ 。当 $x$ 的形式为 $x^m$ 且 $m$ 为偶数时，平方根很容易计算：即 $x^{m/2}$ 。这源于指数的幂法则：

x^\frac{m}{2}\cdot x^\frac{m}{2}=x^{\frac{m}{2}+\frac{m}{2}}=x^\frac{2m}{2}=x^m

如果我们限制指数必须为整数，那么当且仅当 $m$ 为偶数时， $x^{m}$ 才有平方根。因此， $x^\frac{m}{2}$ 是 $x^m$ 的一个平方根。

平方根有两个解。例如，4 的整数平方根是 2 和 -2。因此，我们也知道如果 $x^{m/2}$ 是 $x^m$ 的一个平方根，那么 $-x^{m/2}$ 也是一个平方根。我们可以通过代数运算来验证这一点：

(-x^\frac{m}{2})(-x^\frac{m}{2})=(-1)(-1)(x^\frac{m}{2})(x^\frac{m}{2})=x^\frac{m}{2}x^\frac{m}{2}=x^m

计算指数形式数字的平方根示例

示例 1： $17^{52}$ 的平方根是多少？

指数是偶数，因此我们可以将指数除以二。答案是 $17^{26}$ 和 $-17^{26}$ 。

示例 2： $13^{8k}$ 的平方根是多少？

因为 $k$ 乘以了 8，所以 $k$ 是否为偶数并不重要，其乘积必定是偶数，因此我们知道指数可以除以二。 $8k$ 的一半是 $4k$ ，所以答案是 $13^{4k}$ 和 $-13^{4k}$ 。

示例 3： $a^{2c}$ 的平方根是多少？

同样，我们不需要知道 $a$ 或 $c$ 的值。由于乘以 2，指数保证是偶数。将指数除以 2，得到 $c$ ，因此平方根是 $a^c$ 和 $-a^c$ 。

平方根的指数法则

值 $a^{m}$ 的平方根为 $a^{m/2}$ 和 $-a^{m/2}$ 。当且仅当 $m$ 是偶数时，平方根的指数才会是整数。

将平方根的指数法则应用于单位根

正如我们已经多次看到的，单位根通常被写为本原单位根的幂。以下是 8 次单位根的乘法子群：

\set{\omega^0\equiv1,\omega^1,\omega^2,\omega^3,\omega^4\equiv-1,\omega^5,\omega^6,\omega^7}

回想一下这个恒等式： $-\omega^i=\omega^{k/2+i}$ 。

在我们的示例中 $k=8$ ，所以 $k/2=4$ ，因此 $\omega$ 和 $\omega^{5}$ 相差 $k/2$ 。因此，我们也可以将 8 次单位根写成：

\set{1,\omega,\omega^2,\omega^3,-1,-\omega,-\omega^2,-\omega^3}

根据平方根的指数法则，只有 omega 的偶数次幂才有平方根（在这个上下文中我们将 0 视为偶数）：

\set{\boxed{\omega^0\equiv1},\omega^1,\boxed{\omega^2},\omega^3,\boxed{\omega^4\equiv-1},\omega^5,\boxed{\omega^6},\omega^7}

我们可以按如下方式计算它们的平方根：

$\sqrt{\omega^0}=1, -1$ 或等价于 $\omega^0$ 和 $\omega^4$
$\sqrt{\omega^2}=\omega,-\omega$ 或等价于 $\omega$ 和 $\omega^5$
$\sqrt{\omega^4}=\omega^2,-\omega^2$ 或等价于 $\omega^2$ 和 $\omega^6$
$\sqrt{\omega^6}=\omega^3,-\omega^3$ 或等价于 $\omega^3$ 和 $\omega^7$

如果我们在圆上可视化 8 次单位根，我们会注意到只有红色子群的成员（即偶数次幂，或者等价于 $\omega^2$ 的幂）才有平方根：

下图展示了每次平方根的计算是如何在圆上得到两个相对的点的：

取 k 次单位根的平方根会生成 2k 次单位根（如果存在的话）

在前面的章节中，我们看到将单位根平方会使集合的大小减半（假设集合的大小为偶数）。取单位根的平方根则会使集合的大小加倍。例如，考虑如上所示由 $\omega$ 生成的 8 次单位根：

\set{1,\omega,\omega^2,\omega^3,\omega^4,\omega^5,\omega^6,\omega^7}

如果我们将每个元素进行平方，会得到集合：

\set{1,\omega^2,\omega^4,\omega^6}

现在，如果我们取这个新集合中每个元素的平方根，我们将得到如上一节所示的原始 8 次单位根：

$\sqrt{\omega^0}=1, -1$ 或等价于 $\omega^0$ 和 $\omega^4$
$\sqrt{\omega^2}=\omega,-\omega$ 或等价于 $\omega$ 和 $\omega^5$
$\sqrt{\omega^4}=\omega^2,-\omega^2$ 或等价于 $\omega^2$ 和 $\omega^6$
$\sqrt{\omega^6}=\omega^3,-\omega^3$ 或等价于 $\omega^3$ 和 $\omega^7$

这并不是什么深奥的发现：平方和平方根互为逆运算，因此平方根自然应该“撤销”平方的操作，反之亦然。

然而，这确实为我们稍后将利用的一种优化方法打开了大门。我们可以反复对单位根进行平方以缩小集合，执行某些操作，然后使用平方根将结果“提升”回原始集合。我们将在后续章节中介绍其机制，但现在，读者必须完全掌握以下概念：

将 $k$ 次单位根平方会将集合缩小为 $k/2$ 次单位根。取 $k/2$ 次单位根的平方根会生成 $k$ 次单位根并使集合大小加倍。

总结

只有单位根的偶数次幂才有平方根
$\omega^m$ 的平方根是 $\omega^{m/2}$ 和 $-\omega^{m/2}$
根据前面的章节，我们知道 $-\omega^{m/2}\equiv\omega^{m/2+k/2}$
在圆上可视化平方根。由于平方根总是彼此互为加法逆元，因此单位根的平方根位于圆的“相对两侧”（对立点）。

练习题

假设 $\omega$ 是本原 4 次单位根。 $-\omega^2$ 的平方根是多少？
假设 $\omega$ 是本原 32 次单位根。 $-\omega^{16}$ 的平方根是多少？
假设 $\omega$ 是本原 16 次单位根。 $-1$ 的平方根是多少？

Last updated on Nov 12, 2025

数字 $x$ 的平方根是 $y$ ，满足 $y^2=x$ 。当 $x$ 的形式为 $x^m$ 且 $m$ 为偶数时，平方根很容易计算：即 $x^{m/2}$ 。这源于指数的幂法则：

x^\frac{m}{2}\cdot x^\frac{m}{2}=x^{\frac{m}{2}+\frac{m}{2}}=x^\frac{2m}{2}=x^m

如果我们限制指数必须为整数，那么当且仅当 $m$ 为偶数时， $x^{m}$ 才有平方根。因此， $x^\frac{m}{2}$ 是 $x^m$ 的一个平方根。

(-x^\frac{m}{2})(-x^\frac{m}{2})=(-1)(-1)(x^\frac{m}{2})(x^\frac{m}{2})=x^\frac{m}{2}x^\frac{m}{2}=x^m

计算指数形式数字的平方根示例

示例 1： $17^{52}$ 的平方根是多少？

指数是偶数，因此我们可以将指数除以二。答案是 $17^{26}$ 和 $-17^{26}$ 。

示例 2： $13^{8k}$ 的平方根是多少？

示例 3： $a^{2c}$ 的平方根是多少？

同样，我们不需要知道 $a$ 或 $c$ 的值。由于乘以 2，指数保证是偶数。将指数除以 2，得到 $c$ ，因此平方根是 $a^c$ 和 $-a^c$ 。

平方根的指数法则

值 $a^{m}$ 的平方根为 $a^{m/2}$ 和 $-a^{m/2}$ 。当且仅当 $m$ 是偶数时，平方根的指数才会是整数。

将平方根的指数法则应用于单位根

正如我们已经多次看到的，单位根通常被写为本原单位根的幂。以下是 8 次单位根的乘法子群：

\set{\omega^0\equiv1,\omega^1,\omega^2,\omega^3,\omega^4\equiv-1,\omega^5,\omega^6,\omega^7}

回想一下这个恒等式： $-\omega^i=\omega^{k/2+i}$ 。

在我们的示例中 $k=8$ ，所以 $k/2=4$ ，因此 $\omega$ 和 $\omega^{5}$ 相差 $k/2$ 。因此，我们也可以将 8 次单位根写成：

\set{1,\omega,\omega^2,\omega^3,-1,-\omega,-\omega^2,-\omega^3}

根据平方根的指数法则，只有 omega 的偶数次幂才有平方根（在这个上下文中我们将 0 视为偶数）：

\set{\boxed{\omega^0\equiv1},\omega^1,\boxed{\omega^2},\omega^3,\boxed{\omega^4\equiv-1},\omega^5,\boxed{\omega^6},\omega^7}

我们可以按如下方式计算它们的平方根：

$\sqrt{\omega^0}=1, -1$ 或等价于 $\omega^0$ 和 $\omega^4$
$\sqrt{\omega^2}=\omega,-\omega$ 或等价于 $\omega$ 和 $\omega^5$
$\sqrt{\omega^4}=\omega^2,-\omega^2$ 或等价于 $\omega^2$ 和 $\omega^6$
$\sqrt{\omega^6}=\omega^3,-\omega^3$ 或等价于 $\omega^3$ 和 $\omega^7$

如果我们在圆上可视化 8 次单位根，我们会注意到只有红色子群的成员（即偶数次幂，或者等价于 $\omega^2$ 的幂）才有平方根：

下图展示了每次平方根的计算是如何在圆上得到两个相对的点的：

取 k 次单位根的平方根会生成 2k 次单位根（如果存在的话）

\set{1,\omega,\omega^2,\omega^3,\omega^4,\omega^5,\omega^6,\omega^7}

如果我们将每个元素进行平方，会得到集合：

\set{1,\omega^2,\omega^4,\omega^6}

现在，如果我们取这个新集合中每个元素的平方根，我们将得到如上一节所示的原始 8 次单位根：

$\sqrt{\omega^0}=1, -1$ 或等价于 $\omega^0$ 和 $\omega^4$
$\sqrt{\omega^2}=\omega,-\omega$ 或等价于 $\omega$ 和 $\omega^5$
$\sqrt{\omega^4}=\omega^2,-\omega^2$ 或等价于 $\omega^2$ 和 $\omega^6$
$\sqrt{\omega^6}=\omega^3,-\omega^3$ 或等价于 $\omega^3$ 和 $\omega^7$

这并不是什么深奥的发现：平方和平方根互为逆运算，因此平方根自然应该“撤销”平方的操作，反之亦然。

将 $k$ 次单位根平方会将集合缩小为 $k/2$ 次单位根。取 $k/2$ 次单位根的平方根会生成 $k$ 次单位根并使集合大小加倍。

总结

只有单位根的偶数次幂才有平方根
$\omega^m$ 的平方根是 $\omega^{m/2}$ 和 $-\omega^{m/2}$
根据前面的章节，我们知道 $-\omega^{m/2}\equiv\omega^{m/2+k/2}$
在圆上可视化平方根。由于平方根总是彼此互为加法逆元，因此单位根的平方根位于圆的“相对两侧”（对立点）。

练习题

假设 $\omega$ 是本原 4 次单位根。 $-\omega^2$ 的平方根是多少？
假设 $\omega$ 是本原 32 次单位根。 $-\omega^{16}$ 的平方根是多少？
假设 $\omega$ 是本原 16 次单位根。 $-1$ 的平方根是多少？