本文解释了 Uniswap V3 是如何实现集中流动性的。我们假设读者已经了解了 Uniswap V2。

为了理解集中流动性，我们首先需要精确定义流动性，而这又取决于对储备的理解。

储备

代币的储备是指自动做市商 (AMM) 所持有的特定可交易代币的余额。我们使用 $\mathsf{reserve}(x)$ 或简写为 $x$ 来指代池子中持有的可交易代币 $x$ 的数量，并使用 $\mathsf{reserve}(y)$（有时简写为 $y$）来指代池子中持有的可交易代币 $y$ 的数量。

流动性

在 AMM 的语境下，流动性衡量的是代币对 $x$ 和 $y$ 的组合储备。

流动性提供者 (LPs) 在将代币存入池子以期在兑换期间赚取费用时，就是在提供流动性。他们的存款增加了储备，进而增加了流动性。

流动性是储备的函数。它通常是储备的乘积、乘积的平方或某些其他单调递增的储备函数（单调递增函数是指随着输入增加，输出总是增加的函数）。

在 Uniswap V2 中，流动性被衡量为 $xy=k$ 中的 $k$（即储备的乘积）。

储备可以有不同的组合方式，但流动性保持不变。例如，如果有 1 ETH 和 1000 USDC，那么流动性就是 1000（1 ETH × 1000 USDC = 1000，忽略小数位）。

如果有 900 USDC 和 1.1111 ETH，流动性仍然是 1000，因为 900 × 1.1111 = 1000。

下面的动画绘制了 $xy=k$ 的图像，并连续改变 $k$ 的值。请注意，随着 $k$ 变大，曲线会离原点越来越远。

储备越多，曲线距离原点越远，流动性也就越大。

由于交易者支付的费用被吸收到了 Uniswap V2 的储备中，Uniswap V2 实际使用的不变量是 $xy\ge k$，而不是 $xy=k$。为了保持数学计算的简单性，我们在本文中忽略了费用。

流动性与价格影响

高流动性是理想的，因为交易者可以“兑换出”更多的代币。如果一个池子只持有 1000 USDC，交易者不可能兑换出超过 1000 USDC。但即使他们不需要用尽某种特定代币的所有储备，交易者仍然偏好更高的流动性，因为更高的流动性会降低价格影响。

为了精确定义“价格影响”，我们首先需要精确定义 AMM 中的“价格”。

AMM 中资产的价格

Uniswap V2 中 token0 的价格是通过以下公式计算的：

在 Uniswap V3 中，代币 X 和 Y 也被称为 token0 和 token1。在这些章节中，我们将交替使用这两种表示法。

下面我们展示了一条常规的 $xy=k$ 价格曲线。曲线上的绿点代表当前 token0 和 token1 的储备量。回顾一下，我们使用 token0 和代币 X 指代同一事物（对于 token1 和代币 Y 也是如此）。随着绿点向左上方移动，token0 的价格随之上升，因为这对应于更少的 token0 储备：

正如上面的图形和公式中所示：

减少 token0 的储备会导致其价格上涨。这符合供需定律，因为 token0 越稀缺，它的价格就越高。

作为原点角度的价格

我们可以将“价格”可视化为一条从原点出发的射线（有起点但没有终点的线）。无论流动性如何，这条射线代表某种固定的储备比例。

思考一下，任何与下方黄色射线相交的储备组合都具有相同的比例。因此，这条射线与价格曲线的交点代表相同的价格，而与流动性大小无关：

设 $\theta$ 为从原点到价格曲线上当前价格所在点的射线的角度。$\theta$ 的角度越大，价格越高：

既然我们对价格有了严格的定义和可视化，我们就可以定义和说明价格影响了。之后我们会将价格影响与流动性联系起来。

价格影响

AMM 中的任何交易都会导致价格向不利于交易者的方向移动。

如果交易者试图向池子提供 token1 来兑换出 token0，那么 token0 将会变得更贵。

正如前面所见，AMM 会根据池子中代币的供应量（储备）来调整价格。这确保了价格总是会随着买单或卖单发生变动。价格的上涨反映了需求的增加。

现在我们可以探讨价格如何随着一笔交易而发生变化。

小额订单的价格影响

假设你下了一个尽可能小的订单，通过向池子支付 token1 来买入一些 token0。这导致 token0 的储备略微下降，而 token1 的储备略微上升。因此，token0 的价格必然会上涨（上涨一小部分）。

换句话说，假设交易前的价格为

而交易后的价格为：

其中 $\color{green}\epsilon$ 是交易者支付给池子的 token1 数量，$\color{red}\delta$ 是交易者从池子中获得的 token0 数量。

数量 $\color{green}{\epsilon}$ 和 $\color{red}{\delta}$ 及其对价格的影响在下图中进行了可视化展示：

无论 $\color{green}{\epsilon}$ 和 $\color{red}{\delta}$ 有多小（只要它们不为零），以下情况必然成立：

因此，AMM 上的任何交易，无论多小，都会改变价格。

我们将由交易引起的价格变动称为价格影响。

巨大的价格影响意味着价格发生了显著变动，而微小的价格影响则意味着价格仅发生了极小的变化。

不同流动性水平下的价格影响示例

对于固定规模的交易，流动性越大，价格影响越低。

本节展示了在流动性逐渐增加的池子中，进行相同交易（使用 USDT 购买 1 USDC）的三个示例。

示例 1：xy = 100

假设一个池子持有 10 USDC (token0) 和 10 USDT (token1)。因为 $xy=k$，所以 $k=100$。因此，流动性为 100。

如果交易者希望获得 1 USDC，他们必须使 USDC 的储备从 10 USDC 减少到 9 USDC。

然后他们必须投入足够的 USDT，使得 9 * new_reserve_usdt = 100（忽略费用）。求解出 new_reserve_usdt，我们得到 11.11。因为 USDT 的初始储备是 10，所以交易者必须投入 1.11 USDT 才能获得 1 USDC。如果我们看看交易后 USDC 的价格，我们会得到：

由于购买了 1 USDC，USDC 的价格从 1 USDT 变成了 1.234 USDT。

我们把初始价格 1 USDT : 1 USDC 称为起始价。

最终价是 1.234 USDT : 1 USDC。价格影响为 0.234，即比原价上涨了 23.4%。

我们在下面对这笔交易的价格影响进行了可视化展示。

价格起始于点状绿色射线和蓝色价格曲线的交点。绿色射线是按 $y=x$ 绘制的，因为资产是以相同价格开始的。最终价格是红色射线与蓝色价格曲线相交的地方。在这里，价格影响非常明显（该图按比例绘制）：

（我们假设两种代币具有相同数量的小数位，因此可以忽略小数位）。

示例 2：xy = 10,000

现在，假设该池子持有 100 USDC 和 100 USDT。因为 $xy= k$，所以 $k =10,000$。流动性比上一个示例增加了 10 倍。

如果交易者希望获得 1 USDC，他们必须将 USDC 的储备从 100 USDC 减少到 99 USDC。然后他们必须投入足够的 USDT，使得 99 * new_reserve_usdt = 10_000。求解出 new_reserve_usdt，我们得到 101.01。因为 USDT 的初始储备是 100，所以交易者必须投入 1.01 USDT 才能获得 1 USDC。如果我们看看交易后 USDC 的价格，我们会得到：

由于购买了 1 USDC（当储备起始为 100 USDC 和 100 USDT 时），USDC 的价格从 1 USDT 变成了 1.02 USDT，导致价格上涨了 2%。

在本示例和前一个示例中，交易者都获得了 1 USDC。然而，本示例中的价格影响要低得多（之前是 23 美分，而这里是 2 美分）。作为一个附带结果，交易者为这 1 USDC 支付的价格也更低，为 1.01 USDT，而第一个示例中是 1.11 USDT。

当 AMM 的流动性增加时，价格影响就会减少。

在这个例子中，价格影响明显更小：

示例 3：xy = 100亿亿 (1 quintillion)

为了把这点说透，假设储备分别为 10 亿 USDC 和 10 亿 USDT，而流动性为 100 亿亿 (1 quintillion)。

我们建议读者在阅读下面的计算过程之前，尝试自己解出价格影响。

如果交易者希望获得 1 USDC，他们必须将 USDC 储备从 10 亿 USDC 减少到 999,999,999 USDC。然后他们必须投入足够的 USDT，使得 999,999,999 * new_reserve_usdt = 1 quintillion （10 亿 $\times$ 10 亿）。求解 new_reserve_usdt，我们得到 1,000,000,001.000000001。因为 USDT 的初始储备是 10 亿，所以交易者必须投入 1.000000001 USDT 才能获得 1 USDC。如果我们看看交易后 USDC 的价格，我们会得到：

UDSC 以 USDT 计价的价格上涨了，但涨幅极小。

因此，当流动性相对于交易规模极其巨大时，价格影响几乎难以察觉。

资本高效的流动性

交易者倾向于较小的价格影响，但流动性提供者不希望为了实现这一目标而提供高达 20 亿美元的巨额资金。

我们希望在没有如此高资本需求的情况下实现高流动性。

我们希望我们的流动性是资本高效的。

为了使我们的流动性具备资本效率，我们利用了我们已知交易的“预期”价格这一事实。具体而言，由于 USDC 和 USDT 均与美元挂钩，因此它们被预期会以 1:1 的比例进行交易。

然而，由于价格影响，USDC 和 USDT 并不会总是以 1:1 进行交易——这正是我们试图最小化的问题。但我们希望在最小化价格影响的同时，提供远少于 20 亿美元的储备金。

因为我们预期交易价格为 1:1 或接近于 1:1，所以我们预计大部分交易会发生在储备金相互等同的区域，如下方的可视化图像所示。如果价格超出了这个区域，套利者将会买断更便宜的稳定币，并在交易所出售。因此，我们可以预期大多数交易会发生在下方的红色区域中：

闲置的流动性

正如上面曲线中所建模的，Uniswap V2 支持的交易价格范围基本上是从 0 到无穷大。将流动性分散到如此宽泛的价格范围内会浪费流动性，因为绝大部分流动性都不会被使用，尤其是在稳定币对的情况下。

更好的做法是消除在极端价格下允许交易的能力，以此换取在我们预期会发生交易的区域内获得更好的流动性。

集中流动性

如果我们能够从不期望发生交易的区域中“移除”流动性，并将这些流动性添加到预期区域中，结果会怎样呢？

以具体数字为例，假设我们希望我们的 AMM 在高于 0.99:1（99 美分的 Tether 兑换 1 个 USDC）以及低于 1.01:1（1.01 Tether 兑换 1 个 USDC）的价格区间内具有高流动性。回顾一下，随着我们在曲线上向左上方移动，价格是上升的。

如果我们在这些价格边界处添加一个 if 语句，我们可以让我们的 AMM 曲线看起来像下面的分段函数：

如果我们绘制上面的分段方程，我们会得到以下结果：

由于我们在预期稳定币交易的价格区间内拥有大得多的流动性，我们预计在该区域内的价格影响会显著降低。我们在不需要更多资金的情况下降低了绝大多数交易的价格影响。

当然，天下没有免费的午餐。如果价格偏离了 [0.99, 1.01] 的边界，流动性就会急剧下降。为了创建一个具有竞争力的池子，我们需要最优地设定边界。0.99 和 1.01 是不是最佳边界并不显而易见；将流动性乘除 10 倍是不是合适的比例也同样不是显而易见的。

Uniswap V3 是如何实现集中流动性的

为了在让 LP 决定存放流动性的理想边界和数量上保持灵活性，Uniswap V3 根本不使用比例因子。在特定的价格边界内，$k$ 将是 LP 在那里提供的流动性。也就是说，流动性提供者可以从多种价格区间中选择在哪里提供流动性。

我们在本文开头提到过，流动性与价格曲线到原点的距离成正比。

因此，由于不同价格区间的流动性不同，Uniswap V3 池子的价格曲线可能如下面的图形所示。

尽管这些曲线看起来是不连续的，但价格（用橙色射线表示）可以在每个“迷你 Uniswap V2 曲线”之间平滑过渡。每一个“子曲线”都具有 $xy=k$ 的形式，但每个子曲线的 $k$ 值是不同的。某个子曲线的 $k$ 值将完全取决于 LP 在该处投放了多少流动性。随着该片段的流动性 $k$ 增加，其距离原点的距离也会增加。由于各曲线的流动性不同，它们距离原点的距离也会有所变化。

增加 $k$ 意味着流动性提供者提供了正确的代币 $x$ 和代币 $y$ 的组合，从而将曲线向外推。在实际应用中，LP 指定一个流动性，然后 Uniswap V3 计算 LP 需要提供的 $x$ 和 $y$ 的数量。该片段所持有的 $x$ 和 $y$ 的数量会根据该区域发生的兑换而变化。目前我们不必担心每条子曲线的具体 $x$ 和 $y$ 数量，只需要知道它们的乘积是 $k$。这将在后续章节中进一步讨论。

为了保持记账简单，LP 不能在任意价格边界提供流动性，而是只能在被称为 ticks 的预定义价格处提供。回想一下，价格与从原点到曲线上价格点的射线角度成正比。因此，我们可以将 ticks 可视化为价格曲线与从原点发出的预定义射线相交的地方：

如何选择这些 ticks 以及它们的间距将是后续章节的主题。

Uniswap V3 不变量

Uniswap V3 可以概念化为使用了以下不变量：

该不变量使得 LP 能够在不同的 ticks 之间提供不同的流动性。因此，$k_i$ 的值在曲线上的不同位置会有所变化。

下面的交互式工具展示了为不同片段改变 $k$ 是如何改变该片段到原点的距离的。尽管这些曲线彼此并未“接触”，价格仍然可以在子曲线之间平滑移动（除非某个特定片段的 $k=0$，在这种情况下该片段将被跳过）。在实际操作中，这些片段比下面工具中展示的要小得多：

分段公式仅供说明

在实际情况中，像我们在上述公式中那样针对如此多潜在情况去检查价格并不节省 Gas。同样地，记录这么多的 $k$ 值也是非常昂贵的。

因此，Uniswap V3 使用了一种替代机制来实现上述的分段公式，该机制极其复杂，几乎占了本书一半的篇幅。这个机制将在后面的章节中重新探讨。

然而，如果我们将 Uniswap V3 的曲线可视化，它看起来就像上面展示的曲线那样。

练习： 移动图像中的滑块，使所有的 $k$ 值都相同。请注意，这将产生一条与 Uniswap V2 曲线完全相同的曲线，只不过这条曲线不会延伸到无穷大和 0。

流动性在实践中是如何分布的

不同片段的一些 $k$ 值有可能是相同的。例如，可能会出现 $k_5=k_6$ 的情况。如果没有在这个价格范围内放置任何流动性，那么某些 $k$ 值也有可能为零。

每个 $k$ 完全取决于 LP 选择在哪里添加流动性。

然而，LP 倾向于将流动性放置在他们预期会发生交易的区域附近，因为只有当 LP 的流动性实际被使用了，Uniswap V3 才会向他们发放兑换费用奖励（关于这是如何记账的，将在后续章节中讨论）。

在下面的屏幕录像中，我们看到了 Base 上的 ETH/USDC V3 池 的 Uniswap V3 LP 用户界面。灰色的垂直线是当前价格，而两条蓝线是 Uniswap V3 允许 LP 添加流动性的预定义的上下限价格。请注意，蓝线不能被设置在任意位置，只能设置在预定义的价格点上。

这是一张展示由两个稳定币组成的池子，其 Uniswap V3 曲线可能是什么样子的图表。

1:1 的价格（这是我们对稳定币对的预期）对应的是 45 度射线，此时储备比例等于 1。因此，流动性最终会集中在储备比例为 1:1 的中心区域周围：

下面是一张展示 Uniswap V3 如何可视化集中流动性的截图。在下方的 USDC / USDT 池中，我们可以看到在价格 1.000 附近存在着高流动性，而这里正是 LP 预期发生交易的地方：

（前往 以太坊主网上的 USDC/USDT 池 ，然后点击“添加流动性 (Add Liquidity) ”，就能看到上述图表）

对于 token0 比 token1 更昂贵的池子，流动性将倾向于更加集中在该价格周围：

如果市场价格发生了显著变化，那么流动性提供者将会移除他们的流动性，并将其放置在新的价格周围以捕获兑换费用。

跨越 ticks 不会造成中断

尽管曲线是不连续的，交易者仍然可以在不同的 ticks 之间无缝地进行交易。一旦跨越了一个 tick，Uniswap V3 就会为剩余的交易重新计算可用的流动性金额，如下面的动画所示：

当价格跨越该 tick 时，储备量突然跃升，因为此次兑换进入了一个流动性更高的区域，因此储备也更高。储备的这种跃升反映了 LP 之前投入该价格区间所增加的储备量。

结论

尽管 Uniswap V3 的代码库看起来可能令人生畏，但在高层次上，最终的机制是非常简单的。

Uniswap V3 拥有与 Uniswap V2 相同的基础机制：

• LP 可以添加和移除流动性，尽管在 V3 中，他们对于在哪里提供流动性有更多的选择。
• 兑换者（Swappers）可以将一种代币兑换成另一种代币。
• 两种协议都提供了用于追踪和检索历史价格的预言机（oracle）。

Uniswap V3 曲线就是一条流动性可能在预设价格（ticks）处发生变化的 Uniswap V2 曲线，这取决于 LP 是如何放置其流动性的。

这样的设计使得 LP 能够将他们的流动性集中在他们认为是该资产市场价格的附近。在流动性更高的情况下，交易者将获得更低的价格影响，从而使该池子成为交易者更具竞争力的选择。