我们的目标是推导基于区间真实储备的恒定乘积公式，其形式如下：

并以此为基础，还原我们在上一章中得出的一些公式。

本章为选读内容。与前几章相比，它没有引入任何本质上的新概念，而是提供了一个通过价格和流动性推导真实储备的不同视角。跳过本章不会对阅读本书其余部分产生任何影响。

Uniswap 是一个恒定乘积自动做市商 (Constant Product Automated Market Maker)。在 Uniswap v2 中，如果忽略手续费，池中的代币兑换 (swap) 遵循公式 $xy=k$ 中常数 $k$ 保持不变的规则，其中 $x$ 和 $y$ 代表池中代币 X 和代币 Y 的储备量。从这个意义上说，可以说是公式 $xy=k$ 定义了池中的代币兑换行为。

Uniswap v3 也是一个恒定乘积 AMM，主要区别在于池子不具有恒定的流动性，而是由多个曲线片段 (curve segments) 组成，每个片段都有特定的流动性 $L$。

在每个片段中，代币兑换的行为与 Uniswap v2 相同，在忽略手续费的情况下，只要兑换没有跨越该片段的边界，就必须保持公式 $L^2 = xy$ 中的值 $L$ 恒定。

因此，控制片段内代币兑换的公式仍然是 $L^2 = xy$。然而，与 Uniswap v2 不同的是，$x$ 和 $y$ 并不是该片段的真实储备，而是其虚拟储备 (virtual reserves)，即如果该片段延伸为一条无限曲线时所具有的储备量（参见关于真实储备和虚拟储备的章节）。

人们可能会问，一个片段的恒定乘积公式 $L^2=xy$ 能否用该片段的真实储备而不是虚拟储备来表达。答案是肯定的。事实上，这个公式可以在 Uniswap v3 白皮书的第 2 页找到，如下所示（这里的 $x$ 和 $y$ 表示真实储备，在我们的符号体系中表示为 $x_r$ 和 $y_r$）。这与我们在引言中展示的公式是同一个。

上述公式确立了流动性、片段边界和真实储备之间的关系。在我们的符号体系中，该公式应写为：

其中 $p_l$ 是 lower tick 处的价格，$p_u$ 是 upper tick 处的价格，而 $L$ 是流动性。

对于一个给定的片段，这些值是固定的，而真实储备是变化的。这与 Uniswap v2 类似，在 $k=xy$ 中流动性 $k$ 是固定的，而储备 $x$ 和 $y$ 可以改变。在以上两种情况中，公式都约束了可能的储备值——如果一种代币的储备增加，另一种代币的储备就必须减少，从而保持流动性恒定。

通过下方的交互式工具可以更好地对这个概念进行可视化。你可以选择 upper tick、lower tick、片段的流动性以及当前价格。随着价格的变动，真实储备 $x_r$ 和 $y_r$ 会发生变化，但它们的变化方式会使流动性 $L$ 保持恒定。换句话说，真实储备之间的比例并不是任意的，而是完全由流动性和 tick 边界所决定的。

v2 和 v3 之间的一个主要区别在于，在 v3 中，其中一种代币的储备可以降至零，而另一种代币的储备不需要趋向于无穷大。在某个片段中耗尽一种代币的真实储备是很正常的现象，此时价格将移动到下一个片段。

值得注意的是，恒定乘积公式并没有出现在代码库中。在 Uniswap v2 中，协议可以在代币兑换中简单地强制执行恒定乘积公式。然而在 v3 中，由于价格在一次兑换过程中可能会穿过多段曲线片段，因此情况要复杂得多。

尽管如此，恒定乘积公式仍可用于推导基于片段边界、流动性和当前价格的真实储备表达式。我们已经在上一章通过其他方法推导出了这些公式，正因如此，本章是选读内容。

不过，如果读者希望了解恒定乘积公式的由来，以及如何使用它来计算一个片段的真实储备，那么这正是本章的目的，欢迎继续阅读。

关联片段中的真实储备与虚拟储备

片段的恒定乘积公式与 Uniswap v2 中相同，

但现在的 $x$ 和 $y$ 代表的是虚拟储备。

如果我们能找到一种将虚拟储备与真实储备关联起来的方法，我们就可以推导出真实储备的恒定乘积公式。

请看下面的图示，其中 $p_l$ 是 lower tick 处的价格，$p_u$ 是 upper tick 处的价格。

在上面的图像中，我们有：

• $(x,y)$ 是当前价格下的虚拟储备，
• $y_l$ 是价格为 $p_l$ 时代币 Y 的虚拟储备——即如果该片段是无限曲线且价格处于 $p_l$ 时，该片段所拥有的代币 Y 的数量。然而，相对于它的字面含义，我们对其在几何学上的意义更感兴趣，
• $x_u$ 是价格为 $p_u$ 时代币 X 的虚拟储备，
• $(x_r, y_r)$ 是该片段的真实储备。

那么虚拟储备与真实储备之间的关系可表示为：

我们可以在 $L^2=xy$ 中应用这些关系，通过代入 $x$ 和 $y$，得到：

在一个片段内，$x_r$ 和 $y_r$ 在代币兑换期间可能会发生变化，但 $x_u$ 和 $y_l$ 仅取决于片段边界，因此对于该片段来说它们是常数。因此，只要能够求得 $x_u$ 和 $y_l$，我们就找到了所需的公式。在上一章中我们推导出了获取 $x_u$ 和 $y_l$ 的公式，而在下一节中，我们将使用这些公式推导真实储备的恒定乘积公式。

真实储备的恒定乘积公式

在关于真实储备和虚拟储备的章节中，我们学习了如何通过价格和流动性求出片段的虚拟储备：$x = L/\sqrt{p}$ 和 $y=L \sqrt{p}$。我们可以使用这些公式计算 $x_u$ 和 $y_l$，如下所示：

使用这些值，我们可以将恒定乘积公式

写为：

该公式适用于流动性为 $L$、lower tick 为 $p_l$ 且 upper tick 为 $p_u$ 的片段。

现在，我们有了一个关联流动性、真实储备和片段边界的恒定乘积公式，且该公式不再涉及任何虚拟储备。

请注意，根据真实储备计算片段的流动性并不直观，因为上述公式在等式两边都包含参数 $L$；这是一个关于 $L$ 的一元二次方程。

在实际应用中，我们无需担心这个问题，因为协议不使用上述公式来计算流动性。相反，协议存储了关于流动性的信息，并根据给定的流动性，计算两个价格之间代币 X 和 Y 的真实储备。

因此，我们关心的是找到一个公式，以便根据片段的流动性、边界和当前价格来计算 $x_r$ 和 $y_r$。

在上一章中，我们已经在不涉及恒定乘积公式的情况下推导出了这些公式——正如引言中所述，恒定乘积公式对此并非必不可少。

出于教学目的，我们将使用恒定乘积公式重新推导上一章的公式。核心观点在于，尽管恒定乘积公式没有用在代码库中，但根据当前价格、流动性和片段边界计算真实储备的公式确实在代码库中得到了使用，而这些公式又可以通过恒定乘积公式推导出来。

为了演示这一点，我们将针对三种可能的情况进行推导：

1. 当当前价格等于或低于 lower tick 时，片段中仅有代币 X 的真实储备；
2. 当当前价格等于或高于 upper tick 时，片段中仅有代币 Y 的真实储备；
3. 当当前价格位于片段区间内时，片段中同时具有代币 X 和代币 Y 的真实储备。

让我们从当前价格等于或低于 lower tick 的情况开始

1. 片段中仅有代币 X

在片段中只有代币 X 的场景下，$y_r$ 等于零，我们可以从恒定乘积公式中推导出 $x_r$，如下所示：

请注意，这与我们在上一章推导的公式完全相同。

现在让我们考虑片段中仅包含代币 Y 的情况——即当前价格等于或高于 upper tick 时。

2. 片段中仅有代币 Y

在片段中只有代币 Y 的场景下，$x_r$ 等于零，我们可以从恒定乘积公式中推导出 $y_r$，如下所示：

请注意，这同样与我们在上一章推导的公式完全相同。

现在我们转向最后一种情况，即价格位于 lower tick 和 upper tick 之间。

3. 片段中同时存在两种代币

当价格位于 lower tick 和 upper tick 之间时，该片段中将同时具有代币 X 和代币 Y。

恒定乘积公式

并不包含当前价格，我们也无法仅凭它来计算 $x_r$ 和 $y_r$。请注意，我们有两个未知数（$x_r$ 和 $y_r$），但只有一个方程式。为了解决这个问题，我们需要另一个方程。

我们知道，虚拟储备计算价格的公式是 $p = y/x$。因此，如果转换为真实储备，我们有：

现在我们有了两个方程（恒定乘积公式和价格公式）和两个未知数（$x_r$ 和 $y_r$）。我们可以将价格公式进行重排：

左侧的项刚好存在于恒定乘积公式中，因此我们能够将其代入其中。

现在我们得出了 $x_r$，可以将这个表达式应用到恒定乘积公式中以求得 $y_r$：

$x_r$ 和 $y_r$ 的公式与我们在上一章推导得出的完全相同。

总结

在 lower tick $p_l$ 和 upper tick $p_u$ 之间，流动性为 $L$ 的片段的恒定乘积公式如下：

其中 $x_r$ 和 $y_r$ 代表代币 X 和代币 Y 的真实储备。