Uniswap V3 中的平方根价格

Last updated on Aug 20, 2025

在 Uniswap V2 中，协议跟踪代币储备量并推导出即期价格 $p_x=y/x$ 以及总流动性 $L=xy$ ，其中 $x$ 和 $y$ 是代币 X 和代币 Y 的储备量。

相反，Uniswap V3 跟踪当前价格和流动性，并推导出储备量。这种计算比较复杂，将在后续章节中介绍。

Uniswap V3 实际上存储的是价格的平方根 $\sqrt{p}$ ，而不是价格本身。这种方法提高了 gas 效率，我们将在后续章节中详细探讨。这样做不会损失精度，因为价格总是可以通过其平方根推导出来。

本章的目的在于讨论 Uniswap V3 在何处以及如何存储价格的平方根 $\sqrt{p}$ ，以及它如何处理代币价格可能是小数值，而 Solidity 没有浮点数（float）或小数（decimal）数字类型的问题。

变量 sqrtPriceX96

价格的平方根存储在池合约中 slot0 结构体的字段变量 sqrtPriceX96 内，如下图所示。

slot0 结构体还存储了其他变量，例如 tick，它代表当前的 tick，正如我们在关于 tick 的章节中看到的那样。slot0 中的其他变量与预言机、手续费或合约安全有关，我们将在稍后进行研究。

变量名 sqrtPriceX96 已经表明，其存储的值是价格的平方根（sqrtPrice），采用 Q96 数字格式（X96），具体来说是 Q64.96 格式。

上一章详细解释了 Q 数字格式。在接下来的部分，我们将简要回顾它在 Uniswap V3 中的用法。

价格的平方根 $\sqrt{p}$ 作为定点数值

Uniswap V3 将价格的平方根存储为定点数。

回顾一下，定点数允许我们以极高的 gas 效率来表示小数。例如，假设我们需要存储 1.0050122696230506，但只能存储整数。一种方法是将该值乘以一个大数，比如 $2^{96}$ ，结果为：

1.0050122696230506 \times 2^{96}=79625275426524700982079509374.66678

然后我们丢弃小数部分，存储 79625275426524700982079509374。

因此，一个数字的定点表示 Q64.96 与（原始）数字之间的关系为

\text{value\_in\_Q64.96} = \text{floor}(\text{original\_value} \times 2^{96})

为了恢复原始值，我们只需将定点表示除以 $2^{96}$ ，即

\text{original\_value} \approx \frac{\text{value\_in\_Q64.96}}{2^{96} }

在我们的例子中，数值 1.0050122696230506 表示为定点数：79625275426524700982079509374。要恢复原始值，我们将此数值除以 $2^{96}$ ，得出约 1.0050122696230507，这非常接近原始数字。

这正是 Uniswap V3 用来规避 Solidity 没有浮点数或小数类型的解决方案。用于保存代币价格平方根的变量 sqrtPriceX96 就是一个定点数，它是通过将实际的、可能带有小数的价格平方根 $\sqrt{p}$ 乘以 $2^{96}$ 得到的。

$\sqrt{p}$ 与 `sqrtPriceX96` 之间的关系

$\sqrt{p}$ 和 sqrtPriceX96 之间的关系是： $\sqrt{p}$ 是实际的价格平方根，而 sqrtPriceX96 表示代币价格在 Q64.96 格式下的平方根。

这种关系可以用一个简单的公式来表示。要将 $\sqrt{p}$ 转换为 sqrtPriceX96，我们使用：

\text{sqrtPriceX96} = \text{floor}(\sqrt{p} \times 2^{96})

要将 sqrtPriceX96 转换回 $\sqrt{p}$ ，我们使用：

\sqrt{p} = \frac{\text{sqrtPriceX96}}{2^{96}}

使用 Python 计算 `sqrtPriceX96`

下面是将价格转换为 sqrtPriceX96 然后再恢复原始价格的 Python 代码：

from decimal import Decimal, getcontext
getcontext().prec = 100
price = Decimal('1.0050122696230506')
sqrtPriceX96 = price * Decimal(2) ** 96 # Decimal('79625275426524700982079509374.6667867672150016')
original_price = sqrtPriceX96 / 2 ** 96 # Decimal('1.0050122696230506')

此处使用了 decimal 库来提高计算精度。

`sqrtPriceX96` 取值示例

让我们来看一些具体的例子。

如果当前某代币价格的平方根 $(\sqrt{p})$ 是 100，该值将以以下形式存储在变量 sqrtPriceX96 中：

100 \times 2^{96}= 7922816251426433759354395033600

如果当前价格的平方根是 323.002，它在 sqrtPriceX96 中将被存储为：

323.002 \times 2^{96} = 25590854948432409571389883046428

若要恢复原始（真实）数值，只需将上述值除以 $2^{96}$ 即可。

查询 slot0 中的 sqrtPriceX96 以计算池子价格

Base 网络上的 ETH:DAI 池

Base 网络上的 ETH:DAI 池当前的 sqrtPriceX96 值可以在下图中看到，为 4552234755200983230583166215033。

要将 sqrtPriceX96 转换为 $\sqrt{p}$ ，我们把获得的值除以 $2^{96}$ 。因此：

\sqrt{p} =\frac{4552234755200983230583166215033}{2^{ 96}}≈57.46942221802943

根据价格的平方根，我们通过对该值求平方来得到实际价格：

p = (\sqrt{p})^2 = 57.46942221802943^2=3302.7344900741346

这代表了撰写这部分文本时，以 DAI 计价的 Ether 价值。

主网（mainnet）上的 USDC:ETH 池

作为另一个例子，让我们获取主网上的 USDC:ETH 池中的 sqrtPriceX96。这个例子与前一个不同的原因有两点：首先，这是以 Ether 计价的 USDC 价格，而不是以稳定币计价的 Ether 价格。其次，Ether 有 18 位小数，而 USDC 只有 6 位小数，这与上一个例子中两种代币都有 18 位小数的情况不同。

从图片中可以看出，该值为 1506673274302120988651364689808458。

$\sqrt{p}$ 的值可以计算为：

\sqrt{p}=\frac{1506673274302120988651364689808458}{2^{96}} = 19016.89028861243

价格可以计算为：

p = (\sqrt{p})^2= 19016.89028861243 ^2 \approx 361642116.2491218

由于这是一个 USDC:ETH 池，我们得到的是以 ETH 计价的 USDC 价格。以 USDC 计价的 ETH 价格是所获价格的倒数：

p_{y} = \frac{1}{p_x} \approx \frac{1}{361642116.2491218} \approx 2.7651646616046713 \times 10^{-9}

最后，USDC 有 6 位小数，而 ETH 有 18 位。我们需要考虑到这种差异；要计算以 USDC 计价的 ETH 价格，我们必须将上述值乘以 $10^{12}$ 。

p \approx 2.7651646616046713 \times 10^{-9} \times 10^{12} \approx 2765.1646616046713

这代表了撰写这部分文本时以 USDC 计价的 Ether 价值。在我们撰写本文时，ETH 的价格波动极大。

协议中的最高价格

因为价格的平方根以 Q64.96 格式的数字存储，所以它能存储的最大整数大约是 $2^{64}$ 。与此平方根相对应的价格可以通过对这个最大整数求平方来获得。

因此，协议可以处理的最大价格平方根约为 $2^{64}$ ，而对应的最高价格略低于 $2^{128}$ 。

协议中的最低价格

基于 $2^{96}$ 导出的定点数可以表示小至 $2^{-96}$ 的分数。这是因为当 $2^{-96}$ 乘以 $2^{96}$ 时结果为 1，可以将其作为整数存储。

小于 $2^{-96}$ 的值超出了范围。例如， $2^{-97}$ 在通过乘以 $2^{96}$ 转换为定点数时，会变成 $2^{-97} \times 2^{96}= 2^{-1}$ ，即 0.5。由于仅保留整数部分，因此会向下舍入为 0，从而导致原始数值的信息丢失。

因此，理论上，协议能处理的最低价格是 $(2^{-96})^2$ 即 $2^{-192}$ 。然而，正如我们将在下一章看到的，它并不允许如此低的价格。

协议规定了一个对称性：代币可假设的最大价格平方根为 $2^{64}$ ，而强制规定的最小价格平方根为 $2^{-64}$ 。这种对称性是合理的，因为代币 X 相对代币 Y 的价值，与代币 Y 相对代币 X 的价值互为倒数。

为什么使用 Q64.96 来存储价格的平方根

这不是一个容易回答的问题，而且协议团队本可以选择不同的 Q 数字格式。因为他们决定将价格平方根与 tick 以及其他信息打包在一个 256 位的存储槽（storage slot）中，留给价格平方根的空间刚好是 160 位。

在下一节中，我们将说明为什么使用 64 位来表示整数部分足以适应现实场景中的价格，这使得协议能够支持这样一个池子：其中一种代币价值数万亿美元，而另一种代币仅值几分之一美分。

现实场景中代币的价格限制

正如我们所见，协议能够处理的最高价格约为 $2^{128}$ （ $(2^{64})^2$ ），或者在数量级上大致相当于 $10^{38}$ 。由于代币价格始终是相对于另一种代币的，池中两个代币之间的价格差距跨度可高达 $10^{38}$ 个数量级。

在计算价格差异时，我们还必须注意将小数位（decimals）因素考虑进去。例如，一个具有 18 位小数的代币在其合约中被存储为 $10^{18}$ 个单位，而一个具有 8 位小数的代币被存储为 $10^8$ 个单位。因此，如果这两种代币的美元价值相同，仅仅由于小数位的关系，它们在池中的价格差异就已经具备了 10 个数量级。

让我们考虑一个现实世界的例子，WBTC:PEPE 池。目前，1 个 WBTC 大约价值 100,000（ $10^5$ ）美元，而 1 个 PEPE 大约价值 0.00001（ $10^{-5}$ ）美元，两者相差 10 个数量级。

但是，我们还必须考虑小数位数的不同。WBTC 有 8 位小数，而 PEPE 有 18 位小数，这会产生 10 个数量级的差异；此外再加上由价格差异造成的另外 10 个数量级的差异。

因此，WBTC 代币的最小单位（一聪，即 $10^{-8}$ WBTC）的价值是 PEPE 最小单位（虽然没有名字，但代表 $10^{-18}$ PEPE）价值的 $10^{20}$ 倍（即十万亿亿倍）。

20 个数量级是一个巨大的差异，但 Uniswap V3 的池子允许最多 38 个数量级的差异。因此，在达到 Uniswap V3 的极限之前，WBTC 相对 PEPE 的价格还可以再增加 18 个数量级。

假设 PEPE 保持在其当前价格（0.00001 美元），在触及 Uniswap V3 的价格上限之前，比特币的价格必须达到一万亿亿（ $10^{23}$ ）美元。同样地，假设比特币达到 1 万亿美元，在达到协议的价格下限之前，PEPE 的价格可以低至 0.0000000000000001 美元（一千万亿分之一美元）。

推导这些限制就作为留给读者的练习了。

总结

Uniswap V3 使用 Q64.96 数字格式来存储价格的平方根。它这样做的原因在于 Solidity 中没有浮点数，且在二进制下处理定点数具有较高的 gas 效率。
协议能够存储的代币最高价格约为 $2^{128}$ 。为了保持对称性，它所能存储的最低价格为 $2^{-128}$ 。池中的代币价格不能超出这些数值范围。