Matrices de Vandermonde

Last updated on Nov 12, 2025

Una matriz de Vandermonde es una matriz que convierte un polinomio de su representación de coeficientes a su representación de valores en un conjunto de puntos.

Para un polinomio $f(x) = a_0 +a_1x + a_2x^2+\dots+a_{k-1}x^{k-1}$ con su representación de coeficientes:

\mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_0\\ a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_{k-1} \end{bmatrix}

La matriz de Vandermonde lo evalúa en $k$ puntos distintos como una sola operación.

Evaluación de un polinomio como producto matricial

Por simplicidad, asumimos que $k=4$ , por lo que tenemos un polinomio de grado $k-1 =3$ .

Evaluación en un solo punto

La evaluación del polinomio $f(x)$ en el punto $x_0$ es:

f(x_0) = a_0 +a_1\cdot x_0 + a_2\cdot x_0^2+a_{3}\cdot x_0^{3}

Esto se puede escribir como un producto matricial: multiplicando una matriz de $1\times 4$ que contiene las potencias sucesivas de $x_0$ por el vector de coeficientes del polinomio, de la siguiente manera:

\begin{bmatrix} f(x_0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & x_0^1 & x_0^2 & x_0^{3} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_0\\ a_1\\ a_2\\ a_{3} \end{bmatrix}

Evaluación en dos puntos

Para evaluar en dos puntos, $x_0$ y $x_1$ , podríamos expresar esto como dos productos matriciales separados. En su lugar, apilamos estos vectores fila en una matriz de $2 \times 4$ :

\begin{bmatrix} f(x_0) \\ f(x_1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & x_0^1 & x_0^2 & x_0^{3}\\ 1 & x_1^1 & x_1^2 & x_1^{3}\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_0\\ a_1\\ a_2\\ a_{3} \end{bmatrix}

Donde cada fila contiene las potencias sucesivas de $x_0$ y $x_1$ , respectivamente.

Por lo tanto, evaluar el polinomio en dos puntos es equivalente a multiplicar una matriz de $2 \times k = 2 \times 4$ por el vector de coeficientes.

Evaluación en $4$ puntos

Si extendemos nuestros puntos a $4$ puntos, entonces con $k=4$ (ya asumido), el sistema de ecuaciones resultante es equivalente a multiplicar una matriz de $k\times k = 4\times 4$ por el vector de coeficientes:

\begin{bmatrix} f(x_0) \\ f(x_1)\\ f(x_2)\\ f(x_{3}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & x_0^{3} \\ 1 & x_1 & x_1^2 & x_1^{3} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & x_2^{3} \\ 1 & x_{3} & x_{3}^2 & x_{3}^{3} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_0\\ a_1\\ a_2\\ a_{3} \end{bmatrix}

Esta matriz se llama matriz de Vandermonde de $4\times 4$ y se denota por $\mathbf{V}$ .

La ecuación anterior se escribe de forma compacta a continuación como

\mathbf{p} = \mathbf{V}\cdot\mathbf{a}

donde $\mathbf{a}$ es el vector de los coeficientes del polinomio y $\mathbf{p}$ es el vector de sus valores en los puntos.

Evaluación del polinomio en las raíces cuartas de la unidad como producto matricial

Ahora, considere la evaluación del polinomio $f(x)$ en las raíces cuartas de la unidad, $\{\omega^0, \omega^1, \omega^{2}, \omega^{3}\}$ , en lugar de en $4$ puntos arbitrarios. Obtenemos la matriz de Vandermonde $\mathbf{V}$ como:

\mathbf{V} = \begin{bmatrix} 1 & 1^1 & 1^2 & 1^3 \\ 1 & \omega & \omega^2 & \omega^{3} \\ 1 & (\omega^2) & (\omega^2)^2 & (\omega^2)^{3} \\ 1 & (\omega^3) & (\omega^3)^2 & (\omega^3)^{3} \end{bmatrix}

Podemos simplificar cada término que sea $\omega^{\frac{k}{2}}$ o mayor, aprovechando las propiedades de que $\omega^{\frac{k}{2}} = \omega^2 = -1$ y $\omega^k=1$ de la siguiente manera:

$\omega^2 \equiv -1$ implica que $(\omega^2)^2 \equiv (-1)^2 = 1$ y $(\omega^2)^3 \equiv (-1)^3 = -1$ .
$\omega^3 = \omega^2\cdot\omega\equiv -1\cdot\omega = -\omega$ implica que:
- $(\omega^3)^2 \equiv (-\omega)^2 = \omega^2\equiv -1$ y
- $(\omega^3)^3 \equiv (-\omega)^3 = -\omega^3 =-(-\omega) =\omega$ .

Ahora sustituimos estas simplificaciones en la matriz:

\mathbf{V} = \begin{bmatrix} 1 & 1^1 & 1^2 & 1^3 \\ 1 & \omega & \omega^2\equiv-1 & \omega^{3}\equiv-\omega \\ 1 & (\omega^2)\equiv-1 & (\omega^2)^2\equiv1 & (\omega^2)^{3}\equiv-1 \\ 1 & (\omega^3)\equiv-\omega & (\omega^3)^2\equiv-1 & (\omega^3)^{3}\equiv\omega \end{bmatrix}

Por lo tanto, la matriz se simplifica al siguiente patrón:

\mathbf{V} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & -1 & -\omega \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -\omega & -1 & \omega \end{bmatrix}

Para un ejemplo concreto, $\omega=13$ es una raíz cuarta primitiva de la unidad en el campo finito $\mathbb{F}_{17}$ (donde la aritmética es módulo 17), y la matriz de Vandermonde es:

\mathbf{V} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 13 & 16 & 4 \\ 1 & 16 & 1 & 16 \\ 1 & 4 & 16 & 13 \end{bmatrix}

Conclusión

Evaluar un polinomio de grado $k-1$ en $k$ puntos es equivalente a multiplicar una matriz de Vandermonde $\mathbf{V}$ de $k \times k$ por el vector de coeficientes $\mathbf{a}$ , formalizado por la ecuación $\mathbf{V}\cdot\mathbf{a} = \mathbf{p}$ .