वैंडरमंड मैट्रिसेस

Last updated on Nov 12, 2025

एक Vandermonde matrix एक ऐसा मैट्रिक्स है जो किसी बहुपद (polynomial) को बिंदुओं के एक समूह पर उसके गुणांक प्रतिनिधित्व (coefficient representation) से उसके मान प्रतिनिधित्व (value representation) में परिवर्तित करता है।

एक बहुपद $f(x) = a_0 +a_1x + a_2x^2+\dots+a_{k-1}x^{k-1}$ के लिए, इसके गुणांक प्रतिनिधित्व के साथ:

\mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_0\\ a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_{k-1} \end{bmatrix}

Vandermonde मैट्रिक्स एक ही ऑपरेशन के रूप में $k$ अलग-अलग बिंदुओं पर इसका मूल्यांकन (evaluate) करता है।

मैट्रिक्स गुणन के रूप में बहुपद का मूल्यांकन

सरलता के लिए, हम मान लेते हैं कि $k=4$ है, तब हमारे पास $k-1 =3$ घात वाला एक बहुपद होता है।

एक बिंदु पर मूल्यांकन

बिंदु $x_0$ पर बहुपद $f(x)$ का मूल्यांकन है:

f(x_0) = a_0 +a_1\cdot x_0 + a_2\cdot x_0^2+a_{3}\cdot x_0^{3}

इसे मैट्रिक्स गुणन के रूप में लिखा जा सकता है: $x_0$ की क्रमिक घातों (successive powers) वाले $1\times 4$ मैट्रिक्स को बहुपद गुणांकों के वेक्टर से गुणा करना, जो इस प्रकार है:

\begin{bmatrix} f(x_0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & x_0^1 & x_0^2 & x_0^{3} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_0\\ a_1\\ a_2\\ a_{3} \end{bmatrix}

दो बिंदुओं पर मूल्यांकन

दो बिंदुओं, $x_0$ और $x_1$ पर मूल्यांकन करने के लिए, हम इन्हें दो अलग-अलग मैट्रिक्स गुणन के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। इसके बजाय, हम इन पंक्ति वेक्टर्स (row vectors) को एक $2 \times 4$ मैट्रिक्स में स्टैक करते हैं:

\begin{bmatrix} f(x_0) \\ f(x_1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & x_0^1 & x_0^2 & x_0^{3}\\ 1 & x_1^1 & x_1^2 & x_1^{3}\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_0\\ a_1\\ a_2\\ a_{3} \end{bmatrix}

जहाँ प्रत्येक पंक्ति में क्रमशः $x_0$ और $x_1$ की क्रमिक घातें होती हैं।

इसलिए, दो बिंदुओं पर बहुपद का मूल्यांकन करना एक $2 \times k = 2 \times 4$ मैट्रिक्स को गुणांक वेक्टर से गुणा करने के बराबर है।

$4$ बिंदुओं पर मूल्यांकन

यदि हम अपने बिंदुओं को $4$ बिंदुओं तक बढ़ाते हैं, तो $k=4$ (पहले से ही माना गया है) के साथ, परिणामी समीकरणों की प्रणाली एक $k\times k = 4\times 4$ मैट्रिक्स को गुणांकों के वेक्टर से गुणा करने के बराबर है:

\begin{bmatrix} f(x_0) \\ f(x_1)\\ f(x_2)\\ f(x_{3}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & x_0^{3} \\ 1 & x_1 & x_1^2 & x_1^{3} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & x_2^{3} \\ 1 & x_{3} & x_{3}^2 & x_{3}^{3} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_0\\ a_1\\ a_2\\ a_{3} \end{bmatrix}

इस मैट्रिक्स को $4\times 4$ Vandermonde matrix कहा जाता है और इसे $\mathbf{V}$ द्वारा दर्शाया जाता है।

उपरोक्त समीकरण को नीचे संक्षिप्त रूप में इस प्रकार लिखा गया है

\mathbf{p} = \mathbf{V}\cdot\mathbf{a}

जहाँ $\mathbf{a}$ बहुपद के गुणांकों का वेक्टर है और $\mathbf{p}$ इसके बिंदु मानों का वेक्टर है।

मैट्रिक्स गुणन के रूप में चौथे roots of unity पर बहुपद का मूल्यांकन

अब, यादृच्छिक (arbitrary) $4$ बिंदुओं के बजाय, चौथे roots of unity, $\{\omega^0, \omega^1, \omega^{2}, \omega^{3}\}$ पर बहुपद $f(x)$ का मूल्यांकन करने पर विचार करें। हमें Vandermonde matrix $\mathbf{V}$ इस प्रकार प्राप्त होता है:

\mathbf{V} = \begin{bmatrix} 1 & 1^1 & 1^2 & 1^3 \\ 1 & \omega & \omega^2 & \omega^{3} \\ 1 & (\omega^2) & (\omega^2)^2 & (\omega^2)^{3} \\ 1 & (\omega^3) & (\omega^3)^2 & (\omega^3)^{3} \end{bmatrix}

हम हर उस पद को सरल बना सकते हैं जो $\omega^{\frac{k}{2}}$ या उससे बड़ा है, इसके लिए हम $\omega^{\frac{k}{2}} = \omega^2 = -1$ और $\omega^k=1$ के गुणों का लाभ उठाते हैं, जो इस प्रकार है:

$\omega^2 \equiv -1$ का अर्थ है कि $(\omega^2)^2 \equiv (-1)^2 = 1$ और $(\omega^2)^3 \equiv (-1)^3 = -1$ ।
$\omega^3 = \omega^2\cdot\omega\equiv -1\cdot\omega = -\omega$ का अर्थ है कि:
- $(\omega^3)^2 \equiv (-\omega)^2 = \omega^2\equiv -1$ और
- $(\omega^3)^3 \equiv (-\omega)^3 = -\omega^3 =-(-\omega) =\omega$ ।

अब हम इन सरलीकरणों को मैट्रिक्स में प्रतिस्थापित करते हैं:

\mathbf{V} = \begin{bmatrix} 1 & 1^1 & 1^2 & 1^3 \\ 1 & \omega & \omega^2\equiv-1 & \omega^{3}\equiv-\omega \\ 1 & (\omega^2)\equiv-1 & (\omega^2)^2\equiv1 & (\omega^2)^{3}\equiv-1 \\ 1 & (\omega^3)\equiv-\omega & (\omega^3)^2\equiv-1 & (\omega^3)^{3}\equiv\omega \end{bmatrix}

इसलिए, मैट्रिक्स निम्नलिखित पैटर्न में सरल हो जाता है:

\mathbf{V} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & -1 & -\omega \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -\omega & -1 & \omega \end{bmatrix}

एक ठोस उदाहरण के लिए, परिमित क्षेत्र (finite field) $\mathbb{F}_{17}$ में $\omega=13$ एक प्रिमिटिव 4th root of unity है (जहाँ अंकगणित मॉड्यूलो 17 है), और Vandermonde मैट्रिक्स है:

\mathbf{V} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 13 & 16 & 4 \\ 1 & 16 & 1 & 16 \\ 1 & 4 & 16 & 13 \end{bmatrix}

निष्कर्ष

$k-1$ घात के बहुपद का $k$ बिंदुओं पर मूल्यांकन करना, $k \times k$ Vandermonde $\mathbf{V}$ मैट्रिक्स को गुणांक वेक्टर $\mathbf{a}$ से गुणा करने के बराबर है, जिसे समीकरण $\mathbf{V}\cdot\mathbf{a} = \mathbf{p}$ द्वारा औपचारिक रूप दिया गया है।