在本文中，我们将介绍一些实用的内积代数技巧，这些技巧在后续推导范围证明（以及将电路编码为内积）时会非常有用。每条规则都会附带一个简单的证明。

符号说明

加粗的变量（如 $\mathbf{a}$）表示向量。未加粗的变量（如 $v$）表示标量。运算符 $\circ$ 是两个向量的 Hadamard 乘积（逐元素相乘），即 $[a_1, \dots, a_n]\circ[b_1, \dots, b_n] = [a_1b_1, \dots, a_nb_n]$。我们使用简写 “lhs” 和 “rhs” 分别指代等式的“左侧”（left-hand side）和“右侧”（right-hand side）。“加数”（summand）是加法中的一个元素，例如，如果 $a + b = c$，那么 $a$ 和 $b$ 就被称为加数。$\mathbf{1}$ 向量是一个全 1 向量，即 $[1, 1, \dots, 1]$。除非另有说明，否则所有向量默认具有相同的长度 $n$。

规则 1：当内积中的一个向量是多个向量的求和时，可以将其展开

假设我们正在计算一个内积，其中一个向量是两个向量的和——例如 $\langle\mathbf{a} + \mathbf{b}, \mathbf{c}\rangle$。我们可以将其拆分为两个内积的和：
$\langle \mathbf{a} + \mathbf{b}, \mathbf{c} \rangle = \langle \mathbf{a}, \mathbf{c}\rangle + \langle \mathbf{b}, \mathbf{c} \rangle$

证明：
lhs 可以写为

rhs 可以写为

规则 2：具有公共项的内积可以合并

下面 lhs 上的两个内积具有公共向量 $\mathbf{c}$。因此，它们可以合并：

这实际上是规则 1 的 lhs 和 rhs 互换。

证明与规则 1 相同。

规则 3：将向量移至内积的另一侧

一个内积可以被重写为 $\mathbf{1}$ 向量与原始向量的 Hadamard 乘积：

证明：

规则 4：我们可以将向量加到内积的其中一项中，以强制两个内积具有公共项

假设我们要将内积 $\langle\mathbf{x}, \mathbf{b}+\mathbf{c}\rangle$ 和内积 $\langle\mathbf{y}, \mathbf{b}\rangle$ 相加，并且内积之和为 $v$。请注意，它们具有不同的分量，因此我们无法使用规则 2 将它们相加。尽管如此，以下等式

可以写为

在上述场景中，我们可以在两边加上 $\langle\mathbf{y},\mathbf{c}\rangle$。

现在我们有了公共的 $\mathbf{y}$ 项，我们可以使用规则 2 组合它们：

既然我们已经强制 lhs 上的两个内积具有公共项 $\langle \mathbf{b} + \mathbf{c} \rangle$，我们可以再次使用规则 2 将它们合并成一个向量：

因此，

可以重写为

规则 5：将两个不相关向量的内积相加

我们可以将 $\langle\mathbf{a}_1,\mathbf{b}_1\rangle+\langle\mathbf{a}_2,\mathbf{b}_2\rangle$（它们没有公共向量）相加并得到：

证明：

该证明表明，有时创造性地寻找可以加到等式两边的内积会非常方便。

规则 6：标量可以移入和移出内积

$z\cdot\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle = \langle z\cdot\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle = \langle\mathbf{a},z\cdot\mathbf{b}\rangle$

该命题的证明留给读者作为练习。作为提示，常数项可以移入和移出求和公式。

本教程是我们 ZK Bulletproofs 系列的一部分。