Uniswap V2：计算 AMM 兑换的结算价格

Last updated on Aug 10, 2024

本文将解释如何确定自动做市商 (AMM) 中交易对的价格结算。它回答了这样一个问题：“从 AMM 中可以用多少代币 X 兑换代币 Y？”。

Uniswap V2 上的 swap() 函数要求你预先计算从池子中兑换的代币数量（包括 0.3% 的交易手续费）。

考虑一个 ETH / USDC 交易对，流动性池中有 100 ETH 和 100 USDC。为了简单起见，这里假设 1 ETH 价值 1 USDC。

虽然 1 ETH 的现货价格是 1 USDC，反之亦然，但这并不意味着我们可以用 25 USDC 兑换 25 ETH，因为这无法维持恒定乘积公式。

作者信息

本文由 RareSkills 的研究实习生 Aymeric Taylor（LinkedIn，Twitter）共同撰写。

恒定乘积公式理论：x * y ≥ k

恒定乘积公式规定，在代币 X 和代币 Y 的交易对池中，池内两种资产数量的乘积（X 乘以 Y）在任何时候都至少应保持恒定。

x \times y \geq k

恒定乘积公式确保了两种代币之间的反比关系，从而对市场供需进行建模。当一种代币数量增加（存入 AMM）时，另一种代币数量应该减少（从 AMM 合约中提取）。

如果像下面的方程式那样重新排列变量，这种反比关系会表现得更加清晰。

y \geq \frac{k}{x}

让我们将前文提到的示例代入恒定乘积方程式中：

x轴 = 100 ETH
y轴 = 100 USDC
k = 10,000 (100 ETH * 100 USDC)
粉红线 描绘了曲线 x * y ≥ 10,000

曲线下方的方框区域是常数 k，即 x 和 y 的乘积。

我们很快就会演示如何以保持该常数不变的方式将 ETH 兑换为 USDC。

Uniswap 恒定乘积公式实现

在实践中，恒定乘积公式的实现方式是比较交易前后流动性池的恒定乘积，以确保其至少保持不变。

k_\text{before} \leq k_\text{after}

Uniswap 并不阻止你向 AMM 支付多于你应付金额的代币，如果发生这种情况，那是因为你低估了可以提取的金额，责任在你自己，因此这里使用了 ≤ 符号。

将上述方程式展开，我们得到下面这个等价方程式：

\underbrace{x_\text{Before} \times y_\text{Before}}_{k_\text{Before}} \leq \underbrace{x_\text{After} \times y_\text{After}}_{k_\text{After}}

x_Before 和 y_Before 是兑换前池中每种代币的数量。
x_After 和 y_After 是兑换后池中代币的数量。

这意味着在将 ETH 兑换为 USDC 之后，池子的恒定乘积至少必须保持不变。

\underbrace{\text{ETH}_\text{Before} \times \text{USDC}_\text{Before}}_{k_\text{Before}} \leq \underbrace{\text{ETH}_\text{After} \times \text{USDC}_\text{After}}_{k_\text{After}}

Uniswap V2 对每笔兑换收取 0.3% 的 AMM 交易费。当计入费用时，流动性池的恒定乘积会随着每笔兑换而增加。池子的这种增长是流动性提供者的核心激励。只有当流动性提供者提取其流动性时，池子的恒定乘积才会减少。我们将在本文末尾向你展示如何计算包含交易手续费的兑换。

为什么我们不能用 25 ETH 兑换 25 USDC

为了确定一笔兑换是否有效，我们需要预先计算该兑换将如何影响池子的恒定乘积。它至少能保持不变吗？

我们将用 ΔETH 和 ΔUSDC 分别表示换入和换出流动性池的数量。

用 25 ETH 兑换 25 USDC 意味着我们将 25 ETH 存入 AMM，并从中提取 25 USDC。这将把池子的流动性调整为 125 ETH 和 75 USDC。AMM 会拒绝这笔兑换，因为兑换后池子的恒定乘积会减小。

兑换后的乘积低于兑换前的乘积 10,000，这违反了恒定乘积不变式。下图将这笔兑换进行了可视化展示。

显然，我们不能指望提取 25 USDC —— 我们必须少提取一些，以保持恒定乘积不变式。

确定正确的 USDC 兑换数量

回到前面的示例，向池中添加 25 ETH 会将 ETH 的数量增加到 125 ETH（100 + 25）。接下来的任务是找到池中能够维持恒定乘积的新的且减少了的 USDC 数量，从而确保 AMM 会接受这笔兑换。

我们得到一个方程式，它揭示了可以用 25 ETH 兑换的 ΔUSDC 的最大值。

求解 ΔUSDC

我们重新排列该方程式以明确求解 ΔUSDC。

现在池子里有 125 ETH 和 80 USDC，这使得恒定乘积达到 10,000。

用 25 ETH 兑换 20 USDC 是你能够从 AMM 流动性池中提取的最大 USDC 数量。这笔兑换会被接受，因为它维持了恒定乘积公式。20 USDC 比 25 USDC 少了五分之一，因此我们在这次兑换中经历了滑点 (Slippage)。滑点是由于我们的交易导致价格变动的程度。如果我们进行较小规模的交易，最终支付的价格将接近 1 USDC : 1 ETH。但由于我们的交易量很大，最终我们要以更高的价格买到更少的 USDC，从而产生了更高的滑点。

我们可以在下方将这笔兑换可视化。

计算兑换的通用公式可以表示如下：

x 和 y 代表兑换前流动性池中代币的数量
Δx 代表存入 AMM 的代币数量
Δy 代表从 AMM 换出的数量

算错兑换：向 AMM 支付超出应付的金额

如果你少提取一些，例如 18 USDC，AMM 仍然会接受它，因为流动性池中的恒定乘积增加了，但你会遭受损失，因为你没有实现兑换最大化。

计算包含手续费的兑换

我们上面进行的计算是排除交易手续费的“理论”计算。如前所述，Uniswap V2 对每笔兑换收取 0.3% 的交易费，但该费用仅适用于存入 AMM 的代币。假设我们用代币 X 兑换代币 Y，0.3% 的费用仅从 X 中扣除，而不从 Y 中扣除。

Uniswap V2 计算 0.3% 费用的方法是将存入的代币分为两部分：

手续费： 0.3%
剩余可用于兑换的金额： 99.7%

对于 25 ETH，我们的手续费和剩余可用于兑换的金额将是：

手续费 (0.3%)： 0.075 ETH
剩余可用于兑换的金额 (99.7%)： 24.925 ETH

手续费会立即从该笔兑换的计算中剔除，因此兑换者将不会获得 0.3% 费用部分的计入。

剩下的是可用于兑换的金额，即 24.925 ETH。这是我们实际从池子中用于兑换 USDC 的金额。

让我们求解我们可以从池子中提取的 USDC 的最大数量 (ΔUSDC)。向池中添加 24.925 ETH 将把 ETH 数量增加到 124.925 ETH。

求解 ΔUSDC 我们得到：

考虑到 0.3% 的兑换手续费，我们大约可以从 AMM 中提取 19.952 USDC。这低于我们在无手续费示例中可以收到的 20 USDC。

在计入费用时，计算的主要区别在于我们将存入的代币乘以 99.7%，保留 0.3% 并分配给 AMM。假设 Δx 为存入的代币，Δy 为提取的代币数量，该通用方程式变为：

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原载于 2024 年 4 月 17 日