Cualquier raíz $k$-ésima de la unidad con un $k$ par elevada a la potencia $k/2$ dará como resultado 1 o -1.

Esto no debe confundirse con los conceptos de apariencia similar de que $\omega^{k/2}\equiv-1$ o que las raíces de la unidad $\omega^{i}$ y $\omega^{i+k/2}$ son inversos aditivos entre sí.

Usemos las raíces primitivas 8-ésimas de la unidad como ejemplo con el generador (raíz primitiva 8-ésima de la unidad) $\omega$:

• $(1)^{k/2}=1$
• $(\omega)^{k/2}\equiv-1$
• $(\omega^2)^{k/2}\equiv\omega^{2k/2}\equiv\omega^k\equiv1$
• $(\omega^3)^{k/2}\equiv\omega^{3k/2}\equiv(\omega^{k/2})^{3}\equiv(-1)^3\equiv-1$
• $(\omega^4)^{k/2}\equiv\omega^{4k/2}\equiv\omega^{2k}\equiv1$
• $(\omega^5)^{k/2}\equiv\omega^{5k/2}\equiv(\omega^{k/2})^{5}\equiv(-1)^5\equiv-1$
• $(\omega^6)^{k/2}\equiv\omega^{6k/2}\equiv\omega^{3k}\equiv1$
• $(\omega^7)^{k/2}\equiv\omega^{7k/2}\equiv(\omega^{k/2})^{7}\equiv(-1)^7\equiv-1$

Como ejercicio para el lector, recomendamos tomar las raíces 6-ésimas de la unidad, elevar cada elemento a la 3ª potencia ($k/2$) y ver que los resultados son $\set{1,-1}$.

Al observar las evaluaciones anteriores, vemos un patrón: las raíces de la unidad con potencias pares sustituidas en $f(x)=x^{k/2}$ se evalúan como 1 y las raíces de la unidad con potencias impares sustituidas en $f(x)=x^{k/2}$ se evalúan como -1. En el apéndice se encuentra una demostración de esto. Mientras tanto, expongamos la afirmación central del capítulo:

Cualquier raíz $k$-ésima de la unidad elevada a $k/2$ donde $k$ es par da como resultado 1 o -1. Específicamente, sea $\omega$ la raíz primitiva $k$-ésima de la unidad y sea la raíz de la unidad en cuestión $\omega^s$. Si $s$ es par, $(\omega^s)^{k/2}$ se evaluará como 1 y si $s$ es impar, entonces $(\omega^s)^{k/2}$ se evaluará como -1.

Un efecto secundario de esta afirmación es que los términos de un polinomio con la potencia $x^{k/2}$ pueden evaluarse casi gratis si se evalúan en una raíz de la unidad.

Supongamos, por ejemplo, que tenemos un polinomio $f(x)=x^4$ que queremos evaluar en 8 puntos. Ahora supongamos que establecemos los 8 puntos como las raíces 8-ésimas de la unidad. Normalmente, tendríamos que iterar sobre $\set{1, \omega,...,\omega^7}$ y evaluar $f(x)$ en cada punto. Sin embargo, no necesitamos realmente exponenciar cada punto de evaluación: ¡simplemente comprobamos si la potencia de la raíz de la unidad es par o impar!

De hecho, podemos atajar el proceso por completo. Tratemos $\set{1, \omega,...,\omega^7}$ como un array de longitud 8. Podemos devolver 1 o -1 basándonos en si el índice del array es par o impar, e ignorar por completo el exponente. En otras palabras, $f(x)=x^4$ se evaluará como

Si el polinomio tiene un coeficiente distinto de uno, por ejemplo $f(x)=ax^4$, la evaluación dependerá únicamente de si nos encontramos en un índice par o impar:

¿Pero qué pasa con los polinomios que no tienen la forma $f(x)=x^{k/2}$? Los polinomios pueden factorizarse para introducir la mayor cantidad posible de términos $x^{k/2}$. Por ejemplo, consideremos el polinomio

Solo el término $a_4x^4$ tiene la forma $x^{k/2}$. Sin embargo, supongamos que factorizamos el polinomio de la siguiente manera:

Este polinomio es mucho más fácil de evaluar ya que sabemos de antemano cuándo los términos $x^4$ se evaluarán como 1 o -1.

Sin embargo, todavía no tenemos un buen truco para manejar las potencias inferiores de $x$. Este será el tema de los próximos capítulos.

Resumen

Elevar una raíz $k$-ésima de la unidad $\omega^s$ a la potencia $k/2$ da como resultado 1 si $s$ es par y -1 si $s$ es impar. Si evaluamos un polinomio en las raíces $k$-ésimas de la unidad, los términos con potencia $k/2$ pueden calcularse automáticamente con solo saber si la raíz de la unidad que estamos evaluando es una potencia par o impar. Por lo tanto, es deseable factorizar el polinomio de manera que maximicemos la cantidad de términos $x^{k/2}$.

Apéndice — Demostración de que $(\omega^s)^{k/2}$ es 1 si $s$ es par y -1 si $s$ es impar para un $k$ par

$\omega^s$ y $\omega^{s+k/2}$ son inversos aditivos entre sí. Dado que $\omega^0=1$ y $\omega^{0+k/2}=\omega^{k/2}$, $\omega^{k/2}$ debe ser el inverso aditivo de $1$ y, por lo tanto, $\omega^{k/2}\equiv-1$.

Ahora tomamos $\omega^{k/2}$ (que es -1) y lo elevamos a $s$

Nótese que $(-1)^s$ solo puede ser 1 o -1. Específicamente, si $s$ es par, entonces $(-1)^s=1$ y si $s$ es impar, entonces $(-1)^s=-1$. Por consiguiente, si $s$ es par, el resultado de nuestra expresión es 1, y si $s$ es impar, entonces el resultado es -1.

Nuestra expresión puede reescribirse como:

Dado que la identidad algebraica de la expresión no ha cambiado, aún podemos decir que si $s$ es par, entonces $(\omega^s)^{k/2}=1$ y si $s$ es impar, $(\omega^s)^{k/2}=-1$.

Por lo tanto, hemos demostrado la afirmación original de que $(\omega^s)^{k/2}=1$ cuando $s$ es par y $(\omega^s)^{k/2}=-1$ cuando $s$ es impar.