对于任何偶数 $k$，其 $k$ 次单位根的 $k/2$ 次方都将等于 1 或 -1。

这不应与看起来相似的概念相混淆，即 $\omega^{k/2}\equiv-1$ 或单位根 $\omega^{i}$ 和 $\omega^{i+k/2}$ 互为加法逆元。

让我们以 8 次本原单位根为例，其生成元（8 次本原单位根）为 $\omega$：

• $(1)^{k/2}=1$
• $(\omega)^{k/2}\equiv-1$
• $(\omega^2)^{k/2}\equiv\omega^{2k/2}\equiv\omega^k\equiv1$
• $(\omega^3)^{k/2}\equiv\omega^{3k/2}\equiv(\omega^{k/2})^{3}\equiv(-1)^3\equiv-1$
• $(\omega^4)^{k/2}\equiv\omega^{4k/2}\equiv\omega^{2k}\equiv1$
• $(\omega^5)^{k/2}\equiv\omega^{5k/2}\equiv(\omega^{k/2})^{5}\equiv(-1)^5\equiv-1$
• $(\omega^6)^{k/2}\equiv\omega^{6k/2}\equiv\omega^{3k}\equiv1$
• $(\omega^7)^{k/2}\equiv\omega^{7k/2}\equiv(\omega^{k/2})^{7}\equiv(-1)^7\equiv-1$

作为留给读者的练习，我们建议取 6 次单位根，将每个元素求 3 次方（$k/2$），并观察结果是否为 $\set{1,-1}$。

观察上面的求值结果，我们发现一个规律：将偶数次幂的单位根代入 $f(x)=x^{k/2}$ 的求值结果为 1，将奇数次幂的单位根代入 $f(x)=x^{k/2}$ 的求值结果为 -1。对此的证明见附录。同时，让我们提出本章的核心论点：

当 $k$ 为偶数时，任何 $k$ 次单位根的 $k/2$ 次方结果均为 1 或 -1。具体而言，设 $\omega$ 为 $k$ 次本原单位根，所讨论的单位根为 $\omega^s$。如果 $s$ 为偶数，$(\omega^s)^{k/2}$ 的求值结果将为 1；如果 $s$ 为奇数，则 $(\omega^s)^{k/2}$ 的求值结果将为 -1。

这个论点的一个附带作用是，如果在单位根上进行求值，那么多项式中带有 $x^{k/2}$ 幂的项几乎可以无成本地求值。

举个例子，假设我们有一个多项式 $f(x)=x^4$，我们希望在 8 个点上对其进行求值。现在假设我们将这 8 个点设为 8 次单位根。通常情况下，我们必须遍历 $\set{1, \omega,...,\omega^7}$ 并在每个点上对 $f(x)$ 求值。然而，我们实际上不需要对每个求值点进行求幂计算——我们只需检查单位根的幂次是偶数还是奇数即可！

事实上，我们可以完全走捷径。让我们将 $\set{1, \omega,...,\omega^7}$ 视为一个长度为 8 的数组。我们可以根据数组索引是偶数还是奇数来返回 1 或 -1，并且完全忽略指数。换句话说，$f(x)=x^4$ 的求值结果将为

如果多项式具有非一的系数，例如 $f(x)=ax^4$，求值将仅取决于我们处于偶数索引还是奇数索引：

但是，对于不是 $f(x)=x^{k/2}$ 形式的多项式该怎么办呢？可以对多项式进行分解，以引入尽可能多的 $x^{k/2}$ 项。例如，考虑以下多项式：

只有项 $a_4x^4$ 是 $x^{k/2}$ 的形式。然而，假设我们按如下方式分解多项式：

这个多项式求值起来要容易得多，因为我们预先知道了 $x^4$ 项何时会求值为 1 或 -1。

然而，我们目前还没有处理较低 $x$ 幂次的巧妙方法。这将是后续章节的主题。

总结

对于 $k$ 次单位根 $\omega^s$ 进行 $k/2$ 次方求幂，如果 $s$ 为偶数则结果为 1，如果 $s$ 为奇数则结果为 -1。如果我们在 $k$ 次单位根上对多项式进行求值，只需知道正在求值的单位根是偶数次幂还是奇数次幂，就可以自动计算出幂为 $k/2$ 的项。因此，最好对多项式进行分解，以便最大化 $x^{k/2}$ 项的数量。

附录 — 偶数 $k$ 情况下，当 $s$ 为偶数时 $(\omega^s)^{k/2}$ 为 1，当 $s$ 为奇数时为 -1 的证明

$\omega^s$ 和 $\omega^{s+k/2}$ 互为加法逆元。由于 $\omega^0=1$ 且 $\omega^{0+k/2}=\omega^{k/2}$，$\omega^{k/2}$ 必须是 $1$ 的加法逆元，因此 $\omega^{k/2}\equiv-1$。

现在我们取 $\omega^{k/2}$（即 -1）并将其求 $s$ 次方：

请注意， $(-1)^s$ 只能是 1 或 -1。具体来说，如果 $s$ 为偶数，则 $(-1)^s=1$；如果 $s$ 为奇数，则 $(-1)^s=-1$。因此，如果 $s$ 为偶数，我们表达式的结果为 1；如果 $s$ 为奇数，则结果为 -1。

我们的表达式可以重写为：

由于表达式的代数恒等关系没有改变，我们仍然可以说：如果 $s$ 为偶数，则 $(\omega^s)^{k/2}=1$；如果 $s$ 为奇数，则 $(\omega^s)^{k/2}=-1$。

因此，我们证明了最初的命题：当 $s$ 为偶数时 $(\omega^s)^{k/2}=1$，当 $s$ 为奇数时 $(\omega^s)^{k/2}=-1$。