Roots of Unity की k/2 घात 1 या -1 के बराबर होती है।

Last updated on Nov 12, 2025

सम $k$ वाले किसी भी $k$ -th root of unity को $k/2$ की घात तक बढ़ाने पर परिणाम 1 या -1 होगा।

इसे समान दिखने वाली इन अवधारणाओं के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए कि $\omega^{k/2}\equiv-1$ या roots of unity $\omega^{i}$ और $\omega^{i+k/2}$ एक दूसरे के योज्य प्रतिलोम (additive inverses) हैं।

आइए उदाहरण के रूप में जनरेटर (primitive 8-th root of unity) $\omega$ के साथ primitive 8-th roots of unity का उपयोग करें:

$(1)^{k/2}=1$
$(\omega)^{k/2}\equiv-1$
$(\omega^2)^{k/2}\equiv\omega^{2k/2}\equiv\omega^k\equiv1$
$(\omega^3)^{k/2}\equiv\omega^{3k/2}\equiv(\omega^{k/2})^{3}\equiv(-1)^3\equiv-1$
$(\omega^4)^{k/2}\equiv\omega^{4k/2}\equiv\omega^{2k}\equiv1$
$(\omega^5)^{k/2}\equiv\omega^{5k/2}\equiv(\omega^{k/2})^{5}\equiv(-1)^5\equiv-1$
$(\omega^6)^{k/2}\equiv\omega^{6k/2}\equiv\omega^{3k}\equiv1$
$(\omega^7)^{k/2}\equiv\omega^{7k/2}\equiv(\omega^{k/2})^{7}\equiv(-1)^7\equiv-1$

पाठक के लिए एक अभ्यास के रूप में, हम 6-th roots of unity लेने, प्रत्येक तत्व को तीसरी घात ( $k/2$ ) तक बढ़ाने और यह देखने की सलाह देते हैं कि परिणाम $\set{1,-1}$ हैं।

ऊपर दिए गए मूल्यांकनों को देखते हुए, हम एक पैटर्न देखते हैं कि सम घात (even powered) वाले roots of unity को $f(x)=x^{k/2}$ में रखने पर मूल्यांकन 1 आता है और विषम घात (odd-powered) वाले roots of unity को $f(x)=x^{k/2}$ में रखने पर मूल्यांकन -1 आता है। इसका प्रमाण परिशिष्ट (appendix) में दिया गया है। इस बीच, आइए इस अध्याय का मुख्य दावा प्रस्तुत करें:

किसी भी k-th root of unity को $k/2$ तक बढ़ाने पर, जहाँ $k$ सम है, परिणाम 1 या -1 आता है। विशेष रूप से, मान लें कि $\omega$ primitive $k$ -th root of unity है और विचारणीय root of unity $\omega^s$ है। यदि $s$ सम है, तो $(\omega^s)^{k/2}$ का मूल्यांकन 1 होगा और यदि $s$ विषम है, तो $(\omega^s)^{k/2}$ का मूल्यांकन -1 होगा।

इस दावे का एक अतिरिक्त प्रभाव यह है कि $x^{k/2}$ की घात वाले बहुपद (polynomial) के पदों का मूल्यांकन लगभग मुफ़्त में किया जा सकता है यदि उनका मूल्यांकन किसी root of unity पर किया जाए।

उदाहरण के लिए मान लीजिए कि हमारे पास एक बहुपद $f(x)=x^4$ है जिसका हम 8 बिंदुओं पर मूल्यांकन करना चाहते हैं। अब मान लीजिए कि हम 8 बिंदुओं को 8-th roots of unity के रूप में सेट करते हैं। आमतौर पर, हमें $\set{1, \omega,...,\omega^7}$ के माध्यम से लूप करना होगा और प्रत्येक बिंदु पर $f(x)$ का मूल्यांकन करना होगा। हालाँकि, हमें वास्तव में मूल्यांकन के प्रत्येक बिंदु की घात निकालने की आवश्यकता नहीं है — हम बस यह जांचते हैं कि root of unity की घात सम है या विषम!

वास्तव में, हम इस प्रक्रिया को पूरी तरह से छोटा (shortcut) कर सकते हैं। आइए $\set{1, \omega,...,\omega^7}$ को 8 की लंबाई (length) वाले एक array के रूप में मानें। हम इस आधार पर 1 या -1 लौटा सकते हैं कि array का इंडेक्स सम है या विषम, और घातांक को पूरी तरह से अनदेखा कर सकते हैं। दूसरे शब्दों में, $f(x)=x^4$ का मूल्यांकन निम्न होगा:

[1,-1,1,-1,1,-1,1,-1]

यदि बहुपद में एक के अलावा कोई अन्य गुणांक (coefficient) है, उदाहरण के लिए $f(x)=ax^4$ , तो मूल्यांकन केवल इस बात पर निर्भर करता है कि हम सम इंडेक्स पर हैं या विषम इंडेक्स पर:

[a,-a,a,-a,a,-a,a,-a]

लेकिन उन बहुपदों का क्या जो $f(x)=x^{k/2}$ के रूप में नहीं हैं? बहुपदों का गुणनखंड (factored) किया जा सकता है ताकि अधिक से अधिक $x^{k/2}$ पद पेश किए जा सकें। उदाहरण के लिए, इस बहुपद पर विचार करें:

f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5+a_6x^6+a_7x^7

केवल $a_4x^4$ पद ही $x^{k/2}$ के रूप में है। हालाँकि, मान लीजिए कि हम बहुपद का गुणनखंड इस प्रकार करते हैं:

f(x)=(a_0+a_4x^4)+(a_1x+a_5x^5)+(a_2x^2+a_6x^6)+(a_3x^3+a_7x^7)

f(x)=(a_0+a_4x^4)+x(a_1+a_5x^4)+x^2(a_2+a_6x^4)+x^3(a_3+a_7x^4)

इस बहुपद का मूल्यांकन करना बहुत आसान है क्योंकि हम पहले से जानते हैं कि कब $x^4$ पदों का मूल्यांकन 1 या -1 होगा।

हालाँकि, हमारे पास अभी तक $x$ की निचली घातों (lower powers) को संभालने के लिए कोई अच्छी ट्रिक नहीं है। यह आगामी अध्यायों का विषय होगा।

सारांश

किसी $k$ -th root of unity $\omega^s$ को $k/2$ की घात तक बढ़ाने पर 1 प्राप्त होता है यदि $s$ सम है और -1 प्राप्त होता है यदि $s$ विषम है। यदि हम $k$ -th roots of unity पर किसी बहुपद का मूल्यांकन करते हैं, तो $k/2$ की घात वाले पदों की गणना स्वचालित रूप से केवल यह जानकर की जा सकती है कि जिस root of unity पर हम मूल्यांकन कर रहे हैं वह सम घात है या विषम घात। इसलिए, बहुपद का गुणनखंड करना वांछनीय है ताकि हम $x^{k/2}$ पदों की मात्रा को अधिकतम कर सकें।

परिशिष्ट — प्रमाण कि सम $k$ के लिए $(\omega^s)^{k/2}$ 1 है यदि $s$ सम है और -1 है यदि $s$ विषम है

$\omega^s$ और $\omega^{s+k/2}$ एक दूसरे के योज्य प्रतिलोम हैं। चूँकि $\omega^0=1$ और $\omega^{0+k/2}=\omega^{k/2}$ है, इसलिए $\omega^{k/2}$ 1 का योज्य प्रतिलोम होना चाहिए और इसलिए $\omega^{k/2}\equiv-1$ है।

अब हम $\omega^{k/2}$ (जो -1 है) लेते हैं और इसे $s$ की घात तक बढ़ाते हैं

\left(\omega^{k/2}\right)^s

ध्यान दें कि $(-1)^s$ केवल 1 या -1 हो सकता है। विशेष रूप से, यदि $s$ सम है, तो $(-1)^s=1$ और यदि $s$ विषम है, तो $(-1)^s=-1$ होगा। इसलिए, यदि $s$ सम है, तो हमारे व्यंजक (expression) का परिणाम 1 होगा, और यदि $s$ विषम है, तो परिणाम -1 होगा।

हमारे व्यंजक को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

\left(\omega^{k/2}\right)^s=\left(\omega^{(k/2)s}\right)=\left(\omega^{s(k/2)}\right)=\left(\omega^s\right)^{k/2}

चूँकि व्यंजक की बीजगणितीय सर्वसमिका (algebraic identity) नहीं बदली है, इसलिए हम अभी भी कह सकते हैं कि यदि $s$ सम है, तो $(\omega^s)^{k/2}=1$ और यदि $s$ विषम है, तो $(\omega^s)^{k/2}=-1$ होगा।

इसलिए, हमने मूल कथन को सिद्ध कर दिया है कि $s$ सम होने पर $(\omega^s)^{k/2}=1$ और $s$ विषम होने पर $(\omega^s)^{k/2}=-1$ होता है।

सारांश

किसी

k

-th root of unity

\omega^s

को

k/2

की घात तक बढ़ाने पर 1 प्राप्त होता है यदि

s

सम है और -1 प्राप्त होता है यदि

s

विषम है। यदि हम

k

-th roots of unity पर किसी बहुपद का मूल्यांकन करते हैं, तो

k/2

की घात वाले पदों की गणना स्वचालित रूप से केवल यह जानकर की जा सकती है कि जिस root of unity पर हम मूल्यांकन कर रहे हैं वह सम घात है या विषम घात। इसलिए, बहुपद का गुणनखंड करना वांछनीय है ताकि हम

x^{k/2}

पदों की मात्रा को अधिकतम कर सकें।

परिशिष्ट — प्रमाण कि सम

k

के लिए

(\omega^s)^{k/2}

1 है यदि

s

सम है और -1 है यदि

s

विषम है

\omega^s

और

\omega^{s+k/2}

एक दूसरे के योज्य प्रतिलोम हैं। चूँकि

\omega^0=1

और

\omega^{0+k/2}=\omega^{k/2}

है, इसलिए

\omega^{k/2}

1 का योज्य प्रतिलोम होना चाहिए और इसलिए

\omega^{k/2}\equiv-1

है।

अब हम

\omega^{k/2}

(जो -1 है) लेते हैं और इसे

s

की घात तक बढ़ाते हैं

\left(\omega^{k/2}\right)^s

ध्यान दें कि

(-1)^s

केवल 1 या -1 हो सकता है। विशेष रूप से, यदि

s

सम है, तो

(-1)^s=1

और यदि

s

विषम है, तो

(-1)^s=-1

होगा। इसलिए, यदि

s

सम है, तो हमारे व्यंजक (expression) का परिणाम 1 होगा, और यदि

s

विषम है, तो परिणाम -1 होगा।

हमारे व्यंजक को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

\left(\omega^{k/2}\right)^s=\left(\omega^{(k/2)s}\right)=\left(\omega^{s(k/2)}\right)=\left(\omega^s\right)^{k/2}

चूँकि व्यंजक की बीजगणितीय सर्वसमिका (algebraic identity) नहीं बदली है, इसलिए हम अभी भी कह सकते हैं कि यदि

s

सम है, तो

(\omega^s)^{k/2}=1

और यदि

s

विषम है, तो

(\omega^s)^{k/2}=-1

होगा।

इसलिए, हमने मूल कथन को सिद्ध कर दिया है कि

s

सम होने पर

(\omega^s)^{k/2}=1

और

s

विषम होने पर

(\omega^s)^{k/2}=-1

होता है।