Las raíces de la unidad ω tienen la propiedad ω^(k/2) ≡ −1

Last updated on Dec 31, 2025

En artículos anteriores, establecimos que en el campo finito $\mathbb{F}_q$ , si $k$ divide a $q-1$ :

Existe un subgrupo único de orden $k$ - las $k$ -ésimas raíces de la unidad.
Un generador $\omega$ de este subgrupo es una $k$ -ésima raíz primitiva de la unidad y está dado por $\omega = g^{\frac{q-1}{k}}$ , donde $g$ es un generador de $\mathbb{F}_q^*$ .
$k$ es el entero positivo más pequeño para el cual $\omega^k\equiv 1$ .

En este artículo, exploramos una propiedad clave de una raíz primitiva de la unidad $\omega$ en $\mathbb{F}_q$ : Siempre y cuando $k$ sea par, $\omega^{\frac{k}{2}}$ es congruente con $-1$ .

Motivación

Para algunas aplicaciones, queremos encontrar relaciones entre diferentes $k$ -ésimas raíces de la unidad para algún $k$ . De manera más precisa, queremos determinar qué raíces de la unidad son inversos aditivos de otras.

En un campo $\mathbb{F}_q$ , si $k$ divide a $q-1$ , las $k$ -ésimas raíces de la unidad se pueden escribir como

\{ 1, \omega, \omega^2, ..., \omega^{k-1} \}

donde $\omega$ es una $k$ -ésima raíz primitiva de la unidad.

Uno podría preguntarse: ¿podemos encontrar fácilmente $-\omega$ o $- \omega^2$ ? Sí, podemos. Tomemos el siguiente hecho, que demostraremos en breve: Si $k$ es par, entonces $\omega^\frac{k}{2} \equiv -1$ .

Usemos este hecho. Dado que $-\omega$ es lo mismo que $(-1) \omega$ , sabiendo que $-1 \equiv \omega^\frac{k}{2}$ , tenemos que

-\omega = (-1) \omega = \omega^\frac{k}{2} \omega = \omega^{\frac{k}{2} + 1}

Lo mismo se puede utilizar para encontrar $- \omega^2$ . Tenemos que

-\omega^2 = (-1) \omega^2 = \omega^\frac{k}{2} \omega^2 = \omega^{\frac{k}{2} + 2}

Esto puede generalizarse para cualquier $i$ como

- \omega^i = \omega^{\frac{k}{2} + i}

Esto establece una relación entre las $k$ -ésimas raíces de la unidad.

A modo de ejemplo, consideremos las octavas raíces de la unidad,

\{ 1, \omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4, \omega^5, \omega^6, \omega^7 \}

Utilizando la relación obtenida, las octavas raíces de la unidad se pueden escribir como

\{ 1, \omega, \omega^2, \omega^3, -1, -\omega, - \omega^2, -\omega^3\}

Para que esto se cumpla, solo necesitamos demostrar que $\omega^\frac{k}{2} \equiv -1$ para cualquier $k$ . Procedamos a hacerlo ahora.

¿Cuál es el significado de $-1$ en un campo finito $\mathbb{F}_q$ ?

En $\mathbb{F}_q$ , la notación $-a$ denota el inverso aditivo de $a$ , satisfaciendo $a + (-a) = 0$ .

Por ejemplo, en $\mathbb{F}_7$ , dado que $6+1 = 7\equiv 0\pmod{7}$ , decimos que $6$ es el inverso aditivo de $1$ , y escribimos

-1 \equiv 6\pmod{7}.

Para cualquier campo finito $\mathbb{F}_q$ , dado que $(q-1) + 1 = q \equiv 0\pmod{q}$ , el inverso aditivo de $1$ siempre es $q-1$ :

-1 \equiv q-1\pmod{q}.

Veamos ahora ejemplos de $\omega^{\frac{k}{2}}$ .

Ejemplo de $\omega^{\frac{k}{2}}$ entre las $k$ -ésimas raíces de la unidad en $\mathbb{F}_{17}$

En los siguientes ejemplos, utilizamos el generador $g =3$ para el grupo multiplicativo $\mathbb{F}_{17}^*$ . Dado que $16$ es el inverso aditivo de $1$ en $\mathbb{F}_{17}$ , tenemos:

-1 \equiv 16\pmod{17}

Caso $k=4$

Una cuarta raíz primitiva de la unidad es $\omega = g^{\frac{q-1}{k}} = g^{\frac{16}{4}} = 3^4 \equiv 13\pmod{17}$ .

Aquí, $\omega^{\frac{k}{2}} = \omega^{\frac{4}{2}} = \omega^2 = 13^2\equiv 16 \equiv -1$ .

Por lo tanto, concluimos que $\omega^{\frac{k}{2}} \equiv -1$ para $k=4$ .

Caso $k = 8$

Ahora $\omega = g^{\frac{q-1}{k}} = g^{\frac{16}{8}} = 3^2 \equiv 9\pmod{17}$ es una octava raíz primitiva de la unidad.

Para $k=8$ , $\frac{k}{2} = 4$ , y tenemos $\omega^{\frac{k}{2}} = 9^4\equiv 16 \equiv -1$ .

Ejemplo de $\omega^{\frac{k}{2}}$ entre las $k$ -ésimas raíces de la unidad en $\mathbb{F}_{97}$

En el campo finito $\mathbb{F}_{97}$ , tenemos $q-1 = 97-1 = 96$ . El inverso aditivo de $1$ es:

-1\equiv 96\pmod{97}

El elemento $g = 5$ es un generador del grupo multiplicativo $\mathbb{F}_{97}^* = \{1,2,\dots,96\}$ . La biblioteca galois proporciona una manera conveniente de encontrar este generador utilizando la propiedad primitive_element, como se muestra a continuación:

import galois
GF = galois.GF(97) # Define the field
GF.primitive_element # Returns GF(5, order=97)

Para $k=32$ , obtenemos $\omega$ como

\omega = g^{\frac{q-1}{k}} = g^{\frac{96}{32}} = 5^3 = 125 \equiv 28\pmod{97}.

Tomando $\frac{k}{2} = 16$ , calculamos $\omega^{\frac{k}{2}} = 28^{16}$ con el siguiente código en Python:

result = 28**16 % 97
print(f"28^16 % 97 = {result}")  # Output: 96

Por lo tanto:

\omega^{16} = 28^{16} \equiv 96 \equiv -1\pmod{97}.

Concluimos que, para $k = 32$ , $\omega^{\frac{k}{2}} \equiv -1$ en $\mathbb{F}_{97}$ .

Código en Python

El siguiente código en Python verifica si $\omega^\frac{k}{2} \equiv - 1$ para un campo $\mathbb{F}_q$ . Se utiliza para probar esta propiedad en $\mathbb{F}_{17}$ para $k = 8$ y $\omega = 9$ . Puedes probarlo para $k = 32$ con $\omega = 28$ en $\mathbb{F}_{97}$ u otra combinación válida de tu elección.

import galois

def check_omega_half_is_minus_one(q, omega, k):
	GF = galois.GF(q)
	if k % 2 != 0:
		raise ValueError("k must be even")

	omega_half = GF(omega) ** (k // 2)

	return omega_half == GF(q-1)

# Example usage:
q = 17
k = 8
omega = 9
result = check_omega_half_is_minus_one(q, omega, k)
print(f"For ω={omega} and k={k}: ω^(k/2) == -1 is {result} in F_{q}")

La demostración matemática

Sea $g$ un generador de $\mathbb{F}_q^*$ . De manera equivalente, esto significa que $g$ es una $(q-1)$ -ésima raíz primitiva de la unidad.

Sea $\omega=g^\frac{q-1}{k}$ una $k$ -ésima raíz primitiva de la unidad en el campo finito $\mathbb{F}_q$ . Demostraremos que $\omega^{\frac{k}{2}} \equiv -1$ .

La idea de la demostración es mostrar que $\omega^\frac{k}{2}$ solo puede ser $1$ o $−1$ . Excluiremos la posibilidad de que $\omega^\frac{k}{2}$ sea $1$ , dejando $−1$ como la única opción.

Demostración:

Tomemos el cuadrado de $\omega^\frac{k}{2}$ . Está dado por

\left(\omega^\frac{k}{2} \right)^2 = \omega^k \equiv 1

La última igualdad se deduce del hecho de que $\omega$ es una $k$ -ésima raíz primitiva de la unidad.

Dado que el cuadrado de $\omega^\frac{k}{2}$ es $1$ , es decir, $\left(\omega^\frac{k}{2} \right)^2 \equiv 1$ , entonces $\omega^\frac{k}{2}$ solo puede ser $1$ o $-1$ , porque solo $1^2$ o $(-1)^2$ es igual a $1$ .

Demostremos que no puede ser $1$ .

Reemplazamos $\omega = g^{\frac{q-1}{k}}$ en $\omega^{\frac{k}{2}}$ . Esto nos da que

\omega^{\frac{k}{2}} = \left(g^{\frac{q-1}{k}}\right)^{\frac{k}{2}} = g^{\frac{q-1}{2}}

Dado que $g$ es una $(q-1)$ -ésima raíz primitiva de la unidad, el entero positivo más pequeño $r$ para el cual $g^r\equiv 1$ es $r=q−1$ .

En otras palabras, no existe un entero $r$ menor que $q-1$ tal que $g^{r} \equiv 1$ . Dado que $\frac{q-1}{2} < q-1$ , $g^{\frac{q-1}{2}}$ no puede ser $1$ . Por lo tanto, la única posibilidad es que $\omega^\frac{k}{2}$ sea igual a $-1$ .

Resumen

Si $\omega$ es una $k$ -ésima raíz primitiva de la unidad en un campo finito $\mathbb{F}_q$ , entonces $\omega^{\frac{k}{2}} \equiv -1$ para un $k$ par.
Utilizando esta propiedad, tenemos que $- \omega^i = \omega^{\frac{k}{2}+i}$ o, dicho de manera equivalente, $\omega^i$ es el inverso aditivo de $\omega^{k/2+i}$ .

El siguiente capítulo introducirá una visualización que hace que estos puntos sean más fáciles de recordar.