在之前的文章中，我们已经确立了在有限域 $\mathbb{F}_q$ 中，如果 $k$ 整除 $q-1$：

• 存在一个唯一的 $k$ 阶子群—— $k$ 次单位根。
• 该子群的生成元 $\omega$ 是本原 $k$ 次单位根，可表示为 $\omega = g^{\frac{q-1}{k}}$，其中 $g$ 是 $\mathbb{F}_q^*$ 的生成元。
• $k$ 是使得 $\omega^k\equiv 1$ 成立的最小正整数。

在本文中，我们将探讨 $\mathbb{F}_q$ 中本原单位根 $\omega$ 的一个关键性质：只要 $k$ 是偶数，$\omega^{\frac{k}{2}}$ 就同余于 $-1$。

动机

在某些应用中，我们希望找出特定 $k$ 的不同 $k$ 次单位根之间的关系。更准确地说，我们想确定哪些单位根是其他单位根的加法逆元。

在域 $\mathbb{F}_q$ 中，如果 $k$ 整除 $q-1$，则 $k$ 次单位根可以写成

其中 $\omega$ 是本原 $k$ 次单位根。

有人可能会问：我们能很容易地找到 $-\omega$ 或 $- \omega^2$ 吗？答案是肯定的。让我们来看以下这个我们稍后将证明的事实：如果 $k$ 是偶数，那么 $\omega^\frac{k}{2} \equiv -1$。

让我们利用这个事实。因为 $-\omega$ 与 $(-1) \omega$ 相同，并且我们知道 $-1 \equiv \omega^\frac{k}{2}$，所以我们可以得出

同样的方法也可以用来求 $- \omega^2$。我们可以得出

这对于任意 $i$ 可以推广为

这就确立了 $k$ 次单位根之间的关系。

举个例子，让我们考虑 8 次单位根，

利用所得出的关系，8 次单位根可以写成

为了使之成立，我们只需证明对于任意 $k$，都有 $\omega^\frac{k}{2} \equiv -1$。我们现在就来进行证明。

在有限域 $\mathbb{F}_q$ 中 $-1$ 的含义是什么

在 $\mathbb{F}_q$ 中，符号 $-a$ 表示 $a$ 的加法逆元，满足 $a + (-a) = 0$。

例如，在 $\mathbb{F}_7$ 中，由于 $6+1 = 7\equiv 0\pmod{7}$，我们说 $6$ 是 $1$ 的加法逆元，并记作

对于任意有限域 $\mathbb{F}_q$，由于 $(q-1) + 1 = q \equiv 0\pmod{q}$，$1$ 的加法逆元总是 $q-1$：

现在让我们来看看 $\omega^{\frac{k}{2}}$ 的例子。

$\mathbb{F}_{17}$ 中 $k$ 次单位根里 $\omega^{\frac{k}{2}}$ 的例子

在下面的例子中，我们使用生成元 $g =3$ 作为乘法群 $\mathbb{F}_{17}^*$ 的生成元。因为在 $\mathbb{F}_{17}$ 中 $16$ 是 $1$ 的加法逆元，所以我们有：

情形 $k=4$

一个本原 4 次单位根是 $\omega = g^{\frac{q-1}{k}} = g^{\frac{16}{4}} = 3^4 \equiv 13\pmod{17}$。

在这里，$\omega^{\frac{k}{2}} = \omega^{\frac{4}{2}} = \omega^2 = 13^2\equiv 16 \equiv -1$。

因此，我们可以得出结论，当 $k=4$ 时 $\omega^{\frac{k}{2}} \equiv -1$。

情形 $k = 8$

现在 $\omega = g^{\frac{q-1}{k}} = g^{\frac{16}{8}} = 3^2 \equiv 9\pmod{17}$ 是一个本原 8 次单位根。

对于 $k=8$，$\frac{k}{2} = 4$，我们有 $\omega^{\frac{k}{2}} = 9^4\equiv 16 \equiv -1$。

$\mathbb{F}_{97}$ 中 $k$ 次单位根里 $\omega^{\frac{k}{2}}$ 的例子

在有限域 $\mathbb{F}_{97}$ 中，我们有 $q-1 = 97-1 = 96$。$1$ 的加法逆元是：

元素 $g = 5$ 是乘法群 $\mathbb{F}_{97}^* = \{1,2,\dots,96\}$ 的一个生成元。如下所示，galois 库提供了一种利用 primitive_element 属性来寻找此生成元的便捷方法：

Copy
import galois
GF = galois.GF(97) # Define the field
GF.primitive_element # Returns GF(5, order=97)

对于 $k=32$，我们得到的 $\omega$ 为

令 $\frac{k}{2} = 16$，我们使用以下 Python 代码计算 $\omega^{\frac{k}{2}} = 28^{16}$：

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result = 28**16 % 97
print(f"28^16 % 97 = {result}")  # Output: 96

因此：

我们得出结论，在 $\mathbb{F}_{97}$ 中，对于 $k = 32$，$\omega^{\frac{k}{2}} \equiv -1$。

Python 代码

以下 Python 代码用于检查在域 $\mathbb{F}_q$ 中是否满足 $\omega^\frac{k}{2} \equiv - 1$。这里用它来测试 $\mathbb{F}_{17}$ 中 $k = 8$ 且 $\omega = 9$ 时的该性质。你也可以在 $\mathbb{F}_{97}$ 中使用 $k = 32$ 且 $\omega = 28$ 来测试，或者尝试你选择的其他有效组合。

Copy
import galois

def check_omega_half_is_minus_one(q, omega, k):
	GF = galois.GF(q)
	if k % 2 != 0:
		raise ValueError("k must be even")

	omega_half = GF(omega) ** (k // 2)

	return omega_half == GF(q-1)

# Example usage:
q = 17
k = 8
omega = 9
result = check_omega_half_is_minus_one(q, omega, k)
print(f"For ω={omega} and k={k}: ω^(k/2) == -1 is {result} in F_{q}")

数学证明

设 $g$ 为 $\mathbb{F}_q^*$ 的生成元。这等同于说 $g$ 是一个本原 $(q-1)$ 次单位根。

设 $\omega=g^\frac{q-1}{k}$ 为有限域 $\mathbb{F}_q$ 中的本原 $k$ 次单位根。我们将证明 $\omega^{\frac{k}{2}} \equiv -1$。

证明的思路是说明 $\omega^\frac{k}{2}$ 只能是 $1$ 或 $-1$。随后我们将排除 $\omega^\frac{k}{2}$ 为 $1$ 的可能性，从而只留下 $-1$ 这唯一选项。

证明：

让我们取 $\omega^\frac{k}{2}$ 的平方。其计算如下：

最后一个等式基于 $\omega$ 是本原 $k$ 次单位根这一事实。

由于 $\omega^\frac{k}{2}$ 的平方为 $1$，即 $\left(\omega^\frac{k}{2} \right)^2 \equiv 1$，那么 $\omega^\frac{k}{2}$ 只能是 $1$ 或 $-1$，因为只有 $1^2$ 或 $(-1)^2$ 等于 $1$。

下面我们来证明它不可能是 $1$。

将 $\omega = g^{\frac{q-1}{k}}$ 代入 $\omega^{\frac{k}{2}}$，我们得到：

因为 $g$ 是一个本原 $(q-1)$ 次单位根，使得 $g^r\equiv 1$ 成立的最小正整数 $r$ 为 $r=q−1$。

换言之，不存在小于 $q-1$ 的整数 $r$ 使得 $g^{r} \equiv 1$。由于 $\frac{q-1}{2} < q-1$，$g^{\frac{q-1}{2}}$ 不可能是 $1$。因此，唯一的可能性就是 $\omega^\frac{k}{2}$ 等于 $-1$。

总结

• 如果 $\omega$ 是有限域 $\mathbb{F}_q$ 中的本原 $k$ 次单位根，那么对于偶数 $k$，有 $\omega^{\frac{k}{2}} \equiv -1$。
• 利用这一性质，我们得到 $- \omega^i = \omega^{\frac{k}{2}+i}$，等价的说法是，$\omega^i$ 是 $\omega^{k/2+i}$ 的加法逆元。

下一章 将介绍一种可视化方法，使这些要点更容易记忆。