इकाई के मूल ω में यह गुण होता है कि ω^(k/2) ≡ −1

Last updated on Dec 31, 2025

पिछले लेखों में, हमने यह स्थापित किया था कि finite field $\mathbb{F}_q$ में, यदि $k$ , $q-1$ को विभाजित करता है:

ऑर्डर $k$ का एक अद्वितीय (unique) सबग्रुप (subgroup) मौजूद होता है - यूनिटी के $k$ -th रूट्स (k-th roots of unity)।
इस सबग्रुप का एक जनरेटर (generator) $\omega$ एक प्रिमिटिव $k$ -th रूट ऑफ़ यूनिटी (primitive k-th root of unity) होता है और इसे $\omega = g^{\frac{q-1}{k}}$ द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ $g$ , $\mathbb{F}_q^*$ का एक जनरेटर है।
$k$ वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक (positive integer) है जिसके लिए $\omega^k\equiv 1$ होता है।

इस लेख में, हम $\mathbb{F}_q$ में primitive root of unity $\omega$ के एक प्रमुख गुण का पता लगाएंगे: जब तक $k$ सम (even) है, तब तक $\omega^{\frac{k}{2}}$ , $-1$ के सर्वांगसम (congruent) होता है।

मोटिवेशन (Motivation)

कुछ ऐप्लिकेशन्स के लिए, हम किसी $k$ के लिए विभिन्न $k$ -th roots of unity के बीच संबंध खोजना चाहते हैं। अधिक सटीक रूप से कहें तो, हम यह निर्धारित करना चाहते हैं कि कौन से roots of unity एक-दूसरे के योज्य प्रतिलोम (additive inverses) हैं।

एक field $\mathbb{F}_q$ में, यदि $k$ , $q-1$ को विभाजित करता है, तो $k$ -th roots of unity को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\{ 1, \omega, \omega^2, ..., \omega^{k-1} \}

जहाँ $\omega$ एक primitive $k$ -th root of unity है।

कोई पूछ सकता है: क्या हम आसानी से $-\omega$ या $- \omega^2$ ज्ञात कर सकते हैं? हाँ, हम कर सकते हैं। आइए निम्नलिखित तथ्य को लें, जिसे हम जल्द ही सिद्ध करेंगे: यदि $k$ सम (even) है, तो $\omega^\frac{k}{2} \equiv -1$ होता है।

आइए इस तथ्य का उपयोग करें। चूँकि $-\omega$ , $(-1) \omega$ के समान है, और यह जानते हुए कि $-1 \equiv \omega^\frac{k}{2}$ , हमें यह प्राप्त होता है:

-\omega = (-1) \omega = \omega^\frac{k}{2} \omega = \omega^{\frac{k}{2} + 1}

इसी का उपयोग $- \omega^2$ ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है। हमें यह प्राप्त होता है:

-\omega^2 = (-1) \omega^2 = \omega^\frac{k}{2} \omega^2 = \omega^{\frac{k}{2} + 2}

इसे किसी भी $i$ के लिए इस प्रकार सामान्यीकृत (generalize) किया जा सकता है:

- \omega^i = \omega^{\frac{k}{2} + i}

यह $k$ -th roots of unity के बीच एक संबंध स्थापित करता है।

एक उदाहरण के रूप में, आइए 8th roots of unity पर विचार करें,

\{ 1, \omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4, \omega^5, \omega^6, \omega^7 \}

प्राप्त संबंध का उपयोग करते हुए, 8th roots of unity को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\{ 1, \omega, \omega^2, \omega^3, -1, -\omega, - \omega^2, -\omega^3\}

इसे सत्य साबित करने के लिए, हमें बस यह दिखाना होगा कि किसी भी $k$ के लिए $\omega^\frac{k}{2} \equiv -1$ होता है। आइए अब इसे सिद्ध करते हैं।

एक finite field $\mathbb{F}_q$ में $-1$ का क्या अर्थ है

$\mathbb{F}_q$ में, $-a$ संकेत $a$ के योज्य प्रतिलोम (additive inverse) को दर्शाता है, जो $a + (-a) = 0$ को संतुष्ट करता है।

उदाहरण के लिए, $\mathbb{F}_7$ में, चूँकि $6+1 = 7\equiv 0\pmod{7}$ है, हम कहते हैं कि $6$ , $1$ का योज्य प्रतिलोम है, और इसे ऐसे लिखते हैं:

-1 \equiv 6\pmod{7}.

किसी भी finite field $\mathbb{F}_q$ के लिए, चूँकि $(q-1) + 1 = q \equiv 0\pmod{q}$ है, $1$ का योज्य प्रतिलोम हमेशा $q-1$ होता है:

-1 \equiv q-1\pmod{q}.

आइए अब $\omega^{\frac{k}{2}}$ के उदाहरण देखें।

$\mathbb{F}_{17}$ में $k$ -th roots of unity के बीच $\omega^{\frac{k}{2}}$ का उदाहरण

निम्नलिखित उदाहरणों में, हम multiplicative group $\mathbb{F}_{17}^*$ के लिए जनरेटर $g =3$ का उपयोग करते हैं। चूँकि $\mathbb{F}_{17}$ में $16$ , $1$ का योज्य प्रतिलोम है, हमें प्राप्त होता है:

-1 \equiv 16\pmod{17}

स्थिति (Case) $k=4$

एक primitive 4th root of unity, $\omega = g^{\frac{q-1}{k}} = g^{\frac{16}{4}} = 3^4 \equiv 13\pmod{17}$ है।

यहाँ, $\omega^{\frac{k}{2}} = \omega^{\frac{4}{2}} = \omega^2 = 13^2\equiv 16 \equiv -1$ है।

इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि $k=4$ के लिए $\omega^{\frac{k}{2}} \equiv -1$ है।

स्थिति (Case) $k = 8$

अब $\omega = g^{\frac{q-1}{k}} = g^{\frac{16}{8}} = 3^2 \equiv 9\pmod{17}$ एक primitive 8th root of unity है।

$k=8$ के लिए, $\frac{k}{2} = 4$ है, और हमारे पास $\omega^{\frac{k}{2}} = 9^4\equiv 16 \equiv -1$ है।

$\mathbb{F}_{97}$ में $k$ -th roots of unity के बीच $\omega^{\frac{k}{2}}$ का उदाहरण

Finite field $\mathbb{F}_{97}$ में, हमारे पास $q-1 = 97-1 = 96$ है। $1$ का योज्य प्रतिलोम है:

-1\equiv 96\pmod{97}

एलिमेंट $g = 5$ , multiplicative group $\mathbb{F}_{97}^* = \{1,2,\dots,96\}$ का एक जनरेटर है। galois लाइब्रेरी primitive_element प्रॉपर्टी का उपयोग करके इस जनरेटर को खोजने का एक सुविधाजनक तरीका प्रदान करती है, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

import galois
GF = galois.GF(97) # Define the field
GF.primitive_element # Returns GF(5, order=97)

$k=32$ के लिए, हम $\omega$ इस प्रकार प्राप्त करते हैं:

\omega = g^{\frac{q-1}{k}} = g^{\frac{96}{32}} = 5^3 = 125 \equiv 28\pmod{97}.

$\frac{k}{2} = 16$ मानते हुए, हम निम्नलिखित Python कोड के साथ $\omega^{\frac{k}{2}} = 28^{16}$ की गणना करते हैं:

result = 28**16 % 97
print(f"28^16 % 97 = {result}")  # Output: 96

इस प्रकार:

\omega^{16} = 28^{16} \equiv 96 \equiv -1\pmod{97}.

हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि, $k = 32$ के लिए, $\mathbb{F}_{97}$ में $\omega^{\frac{k}{2}} \equiv -1$ होता है।

Python कोड

निम्नलिखित Python कोड यह जांचता है कि किसी field $\mathbb{F}_q$ के लिए $\omega^\frac{k}{2} \equiv - 1$ है या नहीं। इसका उपयोग $\mathbb{F}_{17}$ में $k = 8$ और $\omega = 9$ के लिए इस गुण (property) का परीक्षण करने के लिए किया जाता है। आप इसे $\mathbb{F}_{97}$ में $k = 32$ और $\omega = 28$ के साथ या अपनी पसंद के किसी अन्य मान्य संयोजन (valid combination) के साथ परीक्षण कर सकते हैं।

import galois

def check_omega_half_is_minus_one(q, omega, k):
	GF = galois.GF(q)
	if k % 2 != 0:
		raise ValueError("k must be even")

	omega_half = GF(omega) ** (k // 2)

	return omega_half == GF(q-1)

# Example usage:
q = 17
k = 8
omega = 9
result = check_omega_half_is_minus_one(q, omega, k)
print(f"For ω={omega} and k={k}: ω^(k/2) == -1 is {result} in F_{q}")

गणितीय प्रमाण (The mathematical proof)

मान लीजिए कि $g$ , $\mathbb{F}_q^*$ का एक जनरेटर है। इसका समतुल्य (equivalently) अर्थ यह है कि $g$ एक primitive $(q-1)$ -th root of unity है।

मान लीजिए $\omega=g^\frac{q-1}{k}$ finite field $\mathbb{F}_q$ में एक primitive $k$ -th root of unity है। हम सिद्ध करेंगे कि $\omega^{\frac{k}{2}} \equiv -1$ है।

इस प्रमाण का मुख्य विचार यह दिखाना है कि $\omega^\frac{k}{2}$ केवल $1$ या $−1$ हो सकता है। हम इस संभावना को खारिज करेंगे कि $\omega^\frac{k}{2}$ , $1$ है, जिससे केवल $−1$ ही एकमात्र विकल्प बचेगा।

प्रमाण (Proof):

आइए $\omega^\frac{k}{2}$ का वर्ग (square) लें। यह इस प्रकार है:

\left(\omega^\frac{k}{2} \right)^2 = \omega^k \equiv 1

अंतिम समानता इस तथ्य से आती है कि $\omega$ एक primitive $k$ -th root of unity है।

चूँकि $\omega^\frac{k}{2}$ का वर्ग $1$ है, अर्थात् $\left(\omega^\frac{k}{2} \right)^2 \equiv 1$ , तो $\omega^\frac{k}{2}$ केवल $1$ या $-1$ हो सकता है, क्योंकि केवल $1^2$ या $(-1)^2$ ही $1$ के बराबर होता है।

आइए दिखाएं कि यह $1$ नहीं हो सकता।

$\omega^{\frac{k}{2}}$ में $\omega = g^{\frac{q-1}{k}}$ प्रतिस्थापित (replace) करें। इससे हमें यह प्राप्त होता है:

\omega^{\frac{k}{2}} = \left(g^{\frac{q-1}{k}}\right)^{\frac{k}{2}} = g^{\frac{q-1}{2}}

चूँकि $g$ एक primitive $(q-1)$ -th root of unity है, वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $r$ जिसके लिए $g^r\equiv 1$ हो, $r=q−1$ है।

दूसरे शब्दों में, $q-1$ से छोटा ऐसा कोई पूर्णांक $r$ नहीं है जिसके लिए $g^{r} \equiv 1$ हो। चूँकि $\frac{q-1}{2} < q-1$ है, $g^{\frac{q-1}{2}}$ , $1$ नहीं हो सकता। इसलिए, एकमात्र संभावना यह है कि $\omega^\frac{k}{2}$ , $-1$ के बराबर है।

सारांश (Summary)

यदि $\omega$ एक finite field $\mathbb{F}_q$ में primitive $k$ -th root of unity है, तो सम (even) $k$ के लिए $\omega^{\frac{k}{2}} \equiv -1$ होता है।
इस गुण का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है कि $- \omega^i = \omega^{\frac{k}{2}+i}$ या समतुल्य रूप से कहें तो, $\omega^i$ , $\omega^{k/2+i}$ का योज्य प्रतिलोम है।

अगला अध्याय एक विज़ुअलाइज़ेशन (visualization) प्रस्तुत करेगा जो इन बिंदुओं को याद रखना आसान बना देगा।