इकाई के मूलों के वर्गमूल

Last updated on Nov 12, 2025

किसी संख्या $x$ का वर्गमूल (square root) $y$ होता है जहाँ $y^2=x$ है। जब $x$ , $x^m$ के रूप में हो और $m$ सम (even) हो, तो वर्गमूल की गणना करना आसान होता है: यह बस $x^{m/2}$ होता है। यह घातांकों के घात नियम (power rule of exponents) से आता है:

x^\frac{m}{2}\cdot x^\frac{m}{2}=x^{\frac{m}{2}+\frac{m}{2}}=x^\frac{2m}{2}=x^m

यदि हम घातांकों (exponents) को पूर्णांक (integers) तक सीमित रखते हैं, तो $x^{m}$ का एक वर्गमूल तभी होगा जब $m$ सम (even) हो। इसलिए, $x^\frac{m}{2}$ , $x^m$ का एक वर्गमूल है।

वर्गमूल के दो हल होते हैं। उदाहरण के लिए, 4 का पूर्णांक वर्गमूल 2 और -2 है। इस प्रकार, हम यह भी जानते हैं कि यदि $x^{m/2}$ , $x^m$ का वर्गमूल है, तो $-x^{m/2}$ भी एक वर्गमूल है। हम इसे बीजगणितीय रूप से इस प्रकार सत्यापित कर सकते हैं:

(-x^\frac{m}{2})(-x^\frac{m}{2})=(-1)(-1)(x^\frac{m}{2})(x^\frac{m}{2})=x^\frac{m}{2}x^\frac{m}{2}=x^m

घातांक (exponent) रूप में संख्याओं के वर्गमूल की गणना करने के उदाहरण

उदाहरण 1: $17^{52}$ का वर्गमूल क्या है?

चूँकि घातांक सम (even) है, इसलिए हम घातांक को दो से विभाजित कर सकते हैं। उत्तर $17^{26}$ और $-17^{26}$ है।

उदाहरण 2: $13^{8k}$ का वर्गमूल क्या है?

चूँकि $k$ को 8 से गुणा किया गया है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि $k$ सम है या नहीं क्योंकि गुणनफल सम ही होगा, इसलिए हम जानते हैं कि घातांक को दो से विभाजित किया जा सकता है। $8k$ का आधा $4k$ है, इसलिए उत्तर $13^{4k}$ और $-13^{4k}$ है।

उदाहरण 3: $a^{2c}$ का वर्गमूल क्या है?

फिर से, हमें $a$ या $c$ को जानने की आवश्यकता नहीं है। दो से गुणा होने के कारण घातांक का सम होना निश्चित है। घातांक को 2 से विभाजित करने पर, हमें $c$ प्राप्त होता है, इसलिए वर्गमूल $a^c$ और $-a^c$ हैं।

वर्गमूलों का घातांक नियम (Exponent rule)

$a^{m}$ के वर्गमूल $a^{m/2}$ और $-a^{m/2}$ हैं। वर्गमूलों के घातांक केवल तभी पूर्णांक होंगे जब $m$ सम (even) हो।

Roots of unity पर वर्गमूलों के घातांक नियम को लागू करना

जैसा कि हम पहले ही कई बार देख चुके हैं, roots of unity को primitive root of unity की घातों (powers) के रूप में लिखा जाता है। यहाँ 8-th roots of unity का गुणात्मक उपसमूह (multiplicative subgroup) दिया गया है:

\set{\omega^0\equiv1,\omega^1,\omega^2,\omega^3,\omega^4\equiv-1,\omega^5,\omega^6,\omega^7}

इस सर्वसमिका (identity) को याद करें कि $-\omega^i=\omega^{k/2+i}$ है।

चूँकि हमारे उदाहरण में $k=8$ है, तो $k/2=4$ होगा, इसलिए $\omega$ और $\omega^{5}$ एक दूसरे से $k/2$ की दूरी पर हैं। इस प्रकार, हम 8-th roots of unity को इस प्रकार भी लिख सकते हैं:

\set{1,\omega,\omega^2,\omega^3,-1,-\omega,-\omega^2,-\omega^3}

वर्गमूलों के घातांक नियम के आधार पर, केवल omega की सम घातों (even powers) के वर्गमूल होते हैं (इस संदर्भ में हम 0 को सम मानते हैं):

\set{\boxed{\omega^0\equiv1},\omega^1,\boxed{\omega^2},\omega^3,\boxed{\omega^4\equiv-1},\omega^5,\boxed{\omega^6},\omega^7}

हम उनके वर्गमूलों की गणना इस प्रकार कर सकते हैं:

$\sqrt{\omega^0}=1, -1$ या समान रूप से $\omega^0$ और $\omega^4$
$\sqrt{\omega^2}=\omega,-\omega$ या समान रूप से $\omega$ और $\omega^5$
$\sqrt{\omega^4}=\omega^2,-\omega^2$ या समान रूप से $\omega^2$ और $\omega^6$
$\sqrt{\omega^6}=\omega^3,-\omega^3$ या समान रूप से $\omega^3$ और $\omega^7$

यदि हम वृत्त (circle) पर 8-th roots of unity की कल्पना करें, तो हम देखते हैं कि केवल लाल उपसमूहों के सदस्यों (सम घातें, या समान रूप से $\omega^2$ की घातें) के ही वर्गमूल होते हैं:

नीचे दिया गया चित्र दिखाता है कि प्रत्येक वर्गमूल का मूल्यांकन वृत्त पर दो विपरीत बिंदुओं के रूप में कैसे परिणत होता है:

k-th roots of unity का वर्गमूल लेने पर 2k-th roots of unity प्राप्त होते हैं (यदि वे मौजूद हैं)

पिछले एक अध्याय में, हमने देखा था कि roots of unity का वर्ग (squaring) करने पर सेट का आकार आधा हो जाता है (यह मानते हुए कि सेट का आकार सम है)। Roots of unity का वर्गमूल लेने पर सेट का आकार दोगुना हो जाता है। उदाहरण के लिए, ऊपर दिखाए गए $\omega$ द्वारा उत्पन्न 8-th roots of unity पर विचार करें:

\set{1,\omega,\omega^2,\omega^3,\omega^4,\omega^5,\omega^6,\omega^7}

यदि हम प्रत्येक तत्व का वर्ग करते हैं, तो हमें यह सेट प्राप्त होता है:

\set{1,\omega^2,\omega^4,\omega^6}

अब, यदि हम इस नए सेट में प्रत्येक तत्व का वर्गमूल लेते हैं, तो हमें ऊपर के अनुभाग में दिखाए अनुसार मूल 8-th roots of unity प्राप्त होते हैं:

$\sqrt{\omega^0}=1, -1$ या समान रूप से $\omega^0$ और $\omega^4$
$\sqrt{\omega^2}=\omega,-\omega$ या समान रूप से $\omega$ और $\omega^5$
$\sqrt{\omega^4}=\omega^2,-\omega^2$ या समान रूप से $\omega^2$ और $\omega^6$
$\sqrt{\omega^6}=\omega^3,-\omega^3$ या समान रूप से $\omega^3$ और $\omega^7$

यह कोई बहुत गूढ़ अवलोकन नहीं है: वर्ग (square) और वर्गमूल (square root) विपरीत संक्रियाएँ (opposite operations) हैं, इसलिए स्वाभाविक रूप से वर्गमूल को उस क्रिया को “पूर्ववत” (undo) करना चाहिए जो वर्ग करता है, और इसके विपरीत।

हालाँकि, यह एक ऐसे अनुकूलन (optimization) का मार्ग प्रशस्त करता है जिसका हम बाद में लाभ उठाएंगे। कोई भी सेट को छोटा करने के लिए roots of unity का बार-बार वर्ग कर सकता है, कुछ संक्रियाएँ (operations) कर सकता है, और फिर परिणाम को मूल सेट में वापस “बढ़ाने” (raise) के लिए वर्गमूल का उपयोग कर सकता है। हम आने वाले अध्यायों में इसकी कार्यप्रणाली का परिचय देंगे, लेकिन अभी के लिए, पाठक को निम्नलिखित अवधारणा में पूरी तरह से महारत हासिल होनी चाहिए:

$k$ -th roots of unity का वर्ग करने से सेट $k/2$ -th roots of unity तक कम हो जाता है। $k/2$ -th roots of unity का वर्गमूल लेने से $k$ -th roots of unity प्राप्त होते हैं और सेट का आकार दोगुना हो जाता है।

सारांश

केवल roots of unity की सम घातों (even powers) के ही वर्गमूल होते हैं।
$\omega^m$ के वर्गमूल $\omega^{m/2}$ और $-\omega^{m/2}$ हैं।
पिछले एक अध्याय के आधार पर, हम जानते हैं कि $-\omega^{m/2}\equiv\omega^{m/2+k/2}$ होता है।
वृत्त (circle) पर वर्गमूलों की कल्पना करना। चूँकि वर्गमूल हमेशा एक-दूसरे के योज्य प्रतिलोम (additive inverses) होते हैं, इसलिए root of unity का वर्गमूल वृत्त के “विपरीत पक्षों” (opposite sides) पर होता है।

अभ्यास प्रश्न

मान लें कि $\omega$ primitive 4-th root of unity है। $-\omega^2$ के वर्गमूल क्या हैं?
मान लें कि $\omega$ primitive 32-th root of unity है। $-\omega^{16}$ के वर्गमूल क्या हैं?
मान लें कि $\omega$ primitive 16-th root of unity है। $-1$ के वर्गमूल क्या हैं?